Un exposant est une écriture courte pour la multiplication répétée : 2³ signifie 2 × 2 × 2, et l’exposant indique combien de copies de la base il faut multiplier. Tout le reste sur les puissances, y compris les exposants négatifs et fractionnaires, découle de cette seule idée, donc un bon modèle mental couvre tout le sujet.

Points clés

2³ = 8, 5⁰ = 1, et 2⁻² = 0.25 : le schéma de base est la multiplication répétée.

Multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants ; les diviser revient à les soustraire.

Un exposant fractionnaire comme 27^(1/3) équivaut à une racine cubique (∛27 = 3).

Sur la calculatrice, tapez les puissances avec la touche ^, par exemple 2^10.

Qu’est-ce qu’un exposant ?

Un exposant, aussi appelé puissance, est le petit nombre qui indique combien de fois multiplier la base par elle-même. Dans 2³, la base est 2 et l’exposant est 3, ce qui signifie 2 × 2 × 2 = 8. L’exposant s’écrit en exposant dans le texte, mais sur une calculatrice, on le tape avec la touche ^ : 2^3.

Exemple détaillé 1 : multiplication répétée. 5² = 5 × 5 = 25. 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81. Tapez 5^2 et 3^4 pour vérifier les deux sur n’importe quelle calculatrice scientifique.

Les règles de multiplication et de division des puissances

Quand des puissances partagent la même base, le calcul se réduit à un seul exposant. Ces trois règles sont les chevaux de trait, et le guide des règles des logarithmes et des exposants les présente côte à côte avec leurs cousins logarithmiques.

Règle du produit : additionner les exposants

Quand vous multipliez deux puissances de même base, additionnez les exposants : aⁿ × aᵐ = aⁿ⁺ᵐ.

Exemple détaillé 2 : règle du produit. 2³ × 2⁴ = 2⁷. Vérifiez les deux côtés à la main : 2³ = 8, 2⁴ = 16, et 8 × 16 = 128 ; de même, 2⁷ = 128. Les deux chemins donnent le même nombre, c’est tout l’intérêt de la règle.

Règle du quotient : soustraire les exposants

Quand vous divisez des puissances de même base, soustrayez les exposants : aⁿ ÷ aᵐ = aⁿ⁻ᵐ.

Exemple détaillé 3 : règle du quotient. 2⁵ ÷ 2² = 2³. À gauche, 32 ÷ 4 = 8 ; à droite, 2³ = 8. Le raccourci fonctionne parce que les deux facteurs 2 × 2 du dénominateur annulent deux des cinq facteurs d’en haut.

Puissance d’une puissance : multiplier les exposants

Élever une puissance à une autre puissance revient à multiplier les exposants : (aⁿ)ᵐ = aⁿᵐ.

Exemple détaillé 4 : puissance d’une puissance. (2³)² = 2⁶. En développant, 2³ = 8 et 8² = 64 ; directement, 2⁶ = 64. Sur la calculatrice, pensez à taper les parenthèses : (2^3)^2 = 64. Sans elles, 2^3^2 se lit 2^(3²) = 2⁹ = 512, parce que les puissances s’associent à droite.

Exposants nuls et négatifs

Les règles ci-dessus décident automatiquement des cas qui paraissent bizarres. Un exposant nul donne toujours 1 pour toute base non nulle, parce que aⁿ ÷ aⁿ = 1 et que la règle du quotient dit que la réponse est a⁰. Donc 5⁰ = 1, 2⁰ = 1, et sur la calculatrice 10^0 → = 1.

Un exposant négatif signifie un inverse : a⁻ⁿ = 1 ÷ aⁿ. Il ne rend jamais la réponse négative, seulement plus petite.

Exemple détaillé 5 : exposants négatifs. 2⁻² = 1 ÷ 2² = 1 ÷ 4 = 0.25. 2⁻¹ = 1 ÷ 2 = 0.5. 10⁻⁶ = 1 ÷ 10⁶ = 0.000001. Tapez 2^-2 et 10^-6 pour retrouver ces valeurs.

Exposants fractionnaires et racines

Un exposant fractionnaire est une racine déguisée. a^(1/2) est la racine carrée, a^(1/3) est la racine cubique, et a^(1/n) est la racine n-ième. Le dénominateur de la fraction nomme la racine, et le numérateur, quand il dépasse 1, ajoute une puissance supplémentaire.

Exemple détaillé 6 : exposants fractionnaires. 9^(1/2) = √9 = 3. 8^(1/3) = ∛8 = 2. 16^(1/4) = 2, puisque 2⁴ = 16. En combinant les idées, 27^(2/3) signifie la racine cubique de 27 au carré : 3² = 9. Cette équivalence fonctionne dans les deux sens, et l’article sur les racines carrées et cubiques s’appuie beaucoup sur elle.

Notation, ordre des opérations et astuces de calculatrice

Sur la calculatrice, gardez ces trois habitudes en tête :

Tapez les puissances avec la touche ^ : 2^10 → = 1024.
Mettez la base entre parenthèses quand elle est négative ou que c’est une expression : (-5)^2 = 25, pas -25, parce que -5^2 se lit -(5²).
Méfiez-vous des puissances empilées : ^ s’associe à droite, donc 2^3^2 = 2⁹ = 512. Utilisez des parenthèses quand vous voulez dire (2³)² = 64.

Les puissances priment sur la multiplication et la division et passent après les parenthèses dans l’ordre des opérations, ce qui explique pourquoi 2 × 3² vaut 18 et pas 36. Quand les exposants deviennent énormes, le résultat s’écrit souvent en notation scientifique : 10^6 = 1,000,000 est un million, et 2^20 = 1,048,576. La calculatrice de notation scientifique retransforme ces longues suites de chiffres en une puissance de dix compacte.

Pourquoi les puissances comptent au-delà de la salle de classe

Les puissances nomment les nombres qui reviennent dans les sciences et l’ingénierie : doubler, c’est multiplier par des puissances de 2, la croissance composée multiplie par (1 + r)^t année après année, et les échelles logarithmiques compressent les puissances de dix en graphiques lisibles. Comprendre les six règles ici, produit, quotient, puissance de puissance, nulle, négative et fractionnaire, permet de passer de l’une à l’autre à la volée, et la calculatrice d’exposants fait l’arithmétique à votre place quand les nombres cessent d’être commodes.

Questions fréquentes

Pourquoi tout nombre non nul à la puissance zéro vaut-il 1 ?

Parce que aⁿ ÷ aⁿ = 1, et que la règle du quotient transforme cette même expression en a⁰. La définition est choisie pour que les règles des exposants restent cohérentes, pas parce qu’on multiplie quelque chose zéro fois.

Que signifie un exposant négatif ?

Il signifie l’inverse, pas un résultat négatif. 2⁻² = 1 ÷ 2² = 0.25. On peut lire a⁻ⁿ comme “un sur a puissance n”.

Comment taper une puissance sur la calculatrice ?

Utilisez la touche ^. 2^10 → = 1024. Pour une base négative, mettez-la entre parenthèses : (-5)^2 → = 25.

Quelle est la différence entre `2^3^2` et `(2^3)^2` ?

Sans parenthèses, les puissances s’associent à droite, donc 2^3^2 = 2⁹ = 512. La forme parenthésée (2^3)^2 = 8² = 64. Cinq cent douze et soixante-quatre sont des réponses très différentes, alors les parenthèses comptent.