指数是重复乘法的简写方式：2³ 表示 2 × 2 × 2，指数告诉你底数要相乘几次。关于幂的一切，包括负指数和分数指数，都可以从这一个核心概念推导出来，所以只要掌握这一种思维模型，就能理解整个主题。

要点速览

2³ = 8、5⁰ = 1、2⁻² = 0.25：底层逻辑都是重复乘法。

同底数幂相乘时指数相加；相除时指数相减。

像 27^(1/3) 这样的分数指数等价于立方根（∛27 = 3）。

在计算器上，用 ^ 键输入幂运算，例如 2^10。

什么是指数？

指数，也叫幂，是表示底数要与自身相乘多少次的小数字。在 2³ 中，底数是 2，指数是 3，也就是 2 × 2 × 2 = 8。在文本中指数通常写成上标，但在计算器上要用 ^ 键输入：2^3。

实例 1：重复乘法。 5² = 5 × 5 = 25。3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81。在任意科学计算器上输入 5^2 和 3^4 即可验证这两个结果。

幂的乘法与除法规则

当幂的底数相同时，运算可以简化为单一的指数。以下三条规则是最常用的工具，对数与指数规则指南将它们与对数的对应规则并列展示，方便对照理解。

乘法法则：指数相加

同底数的两个幂相乘时，指数相加：aⁿ × aᵐ = aⁿ⁺ᵐ。

实例 2：乘法法则。 2³ × 2⁴ = 2⁷。手动验证两边：2³ = 8，2⁴ = 16，8 × 16 = 128；同样地，2⁷ = 128。两种算法得到相同的数字，这正是该规则的意义所在。

除法法则：指数相减

同底数的幂相除时，指数相减：aⁿ ÷ aᵐ = aⁿ⁻ᵐ。

实例 3：除法法则。 2⁵ ÷ 2² = 2³。左边，32 ÷ 4 = 8；右边，2³ = 8。这条捷径之所以成立，是因为分母中的两个 2 × 2 因子会抵消分子五个因子中的两个。

幂的幂：指数相乘

一个幂再取幂时，指数相乘：(aⁿ)ᵐ = aⁿᵐ。

实例 4：幂的幂。 (2³)² = 2⁶。展开来看，2³ = 8，8² = 64；直接计算，2⁶ = 64。在计算器上，务必输入括号：(2^3)^2 = 64。如果不加括号，2^3^2 会被解读为 2^(3²) = 2⁹ = 512，因为幂运算是从右向左结合的。

零指数与负指数

上面的规则会自动解释这些看起来“奇怪”的情况。任何非零底数的零次幂都等于 1，因为 aⁿ ÷ aⁿ = 1，而除法法则说这个结果等于 a⁰。所以 5⁰ = 1，2⁰ = 1，在计算器上 10^0 → = 1。

负指数表示取倒数：a⁻ⁿ = 1 ÷ aⁿ。它不会让结果变成负数，只会让结果变小。

实例 5：负指数。 2⁻² = 1 ÷ 2² = 1 ÷ 4 = 0.25。2⁻¹ = 1 ÷ 2 = 0.5。10⁻⁶ = 1 ÷ 10⁶ = 0.000001。输入 2^-2 和 10^-6 来验证这些结果。

分数指数与方根

分数指数其实是方根的另一种写法。a^(1/2) 是平方根，a^(1/3) 是立方根，a^(1/n) 是 n 次方根。分数的分母决定是几次方根，而分子如果大于 1，则表示额外再取一次幂。

实例 6：分数指数。 9^(1/2) = √9 = 3。8^(1/3) = ∛8 = 2。16^(1/4) = 2，因为 2⁴ = 16。把两个概念结合起来，27^(2/3) 表示先取 27 的立方根再平方：3² = 9。这个等价关系是双向成立的，平方根与立方根这篇文章对此有深入讲解。

记法、运算顺序与计算器技巧

在计算器上，请牢记以下三个习惯：

用 ^ 键输入幂：2^10 → = 1024。
当底数是负数或表达式时，要用括号把它括起来：(-5)^2 = 25，而不是 -25，因为 -5^2 会被解读为 -(5²)。
注意连续叠加的幂：^ 是从右向左结合的，所以 2^3^2 = 2⁹ = 512。如果你想表达 (2³)² = 64，就要加括号。

在运算顺序中，幂运算的优先级高于乘除法，但低于括号，这就是为什么 2 × 3² 等于 18 而不是 36。当指数变得很大时，结果常常用科学记数法表示：10^6 = 1,000,000 就是一百万，2^20 = 1,048,576。科学记数法计算器可以把这些冗长的数字串重新转换成简洁的十的幂形式。

为什么指数在课堂之外同样重要

幂运算描述了科学与工程中反复出现的那些数字：倍增就是乘以 2 的幂，复合增长每年都乘以 (1 + r)^t，对数刻度则把十的幂压缩成便于阅读的图表。理解这里介绍的六条规则——乘法、除法、幂的幂、零指数、负指数与分数指数——你就能随时在这些形式之间自由转换；当数字不再“整齐”时，指数计算器可以替你完成计算。

常见问题

为什么任何非零数的零次幂都等于 1？

因为 aⁿ ÷ aⁿ = 1，而除法法则把同一个表达式变成了 a⁰。这样定义是为了让指数规则保持一致，而不是因为“乘了零次”这种字面意思。

负指数是什么意思？

它表示取倒数，而不是让结果变成负数。2⁻² = 1 ÷ 2² = 0.25。你可以把 a⁻ⁿ 读作“1 除以 a 的 n 次方”。

如何在计算器上输入幂运算？

使用 ^ 键。2^10 → = 1024。如果底数是负数，要用括号括起来：(-5)^2 → = 25。

`2^3^2` 和 `(2^3)^2` 有什么区别？

不加括号时，幂运算从右向左结合，所以 2^3^2 = 2⁹ = 512。加括号后，(2^3)^2 = 8² = 64。512 和 64 是完全不同的两个答案，所以括号非常关键。