Ein Logarithmus beantwortet die Frage „welche Potenz der Basis ergibt diese Zahl?“. Zum Beispiel ist log(1000) = 3, weil 10³ = 1000. Wer diese eine Idee verstanden hat, erkennt in jedem Logarithmus nur den Exponenten, nach dem auf andere Weise gefragt wird.

Die wichtigsten Punkte

Ein Logarithmus ist die Umkehrung eines Exponenten: log(1000) = 3, weil 10³ = 1000.

Der Zehnerlogarithmus (geschrieben log) zählt Zehnerpotenzen und ist die Art, mit der Wissenschaftler Skalen zusammenpressen.

Der natürliche Logarithmus (geschrieben ln) hat die Basis e ≈ 2.71828, die Zahl hinter Wachstum.

log(1) = 0 und log(10) = 1 für jede saubere Basis, ein schneller Plausibilitätstest.

Was ist ein Logarithmus?

Ein Logarithmus (kurz log) ist die Umkehroperation des Potenzierens. Wo eine Potenz die Frage „was ist 10³?“ beantwortet, fragt ein Logarithmus in die andere Richtung: „mit welcher Potenz muss ich 10 nehmen, um die Zahl vor mir zu erhalten?“ Also ist log(1000) die „Zehnerpotenz, die 1000 ergibt“, und da 10³ = 1000 ist, lautet die Antwort 3.

Durchgerechnetes Beispiel 1: einen Zehnerlogarithmus lesen. log(100) = 2, weil 10² = 100. log(10) = 1, weil 10¹ = 10. log(1) = 0, weil 10⁰ = 1. Und log(0.01) = -2, weil 10⁻² = 0.01. Tippe log(100) in den Logarithmus-Rechner ein, um zu bestätigen, dass 2 zurückkommt.

Wie man einen Dezimal-Logarithmus liest

Logarithmen kommen nicht immer als ganze Zahlen heraus, und die Dezimalstellen sagen, wie weit zwischen zwei Zehnerpotenzen eine Zahl liegt. Weil 100 = 10² und 1000 = 10³ ist, hat eine Zahl dazwischen, zum Beispiel 300, einen Logarithmus zwischen 2 und 3: log(300) ≈ 2.477. Der ganze Teil (2) nennt die Größenordnung, der Nachkommateil (0.477) zeigt, wo die Zahl innerhalb dieser Zehnerstufe liegt. Das ist dieselbe Überlegung wie bei der wissenschaftlichen Schreibweise, wo 300 als 3.0 × 10² geschrieben wird.

Zehnerlogarithmus versus natürlicher Logarithmus

Die Basis eines Logarithmus wird als kleine tiefgestellte Zahl geschrieben, aber auf üblichen Taschenrechnern dominieren zwei Basen, und jede hat eine eigene Taste:

log ist die Basis 10 (dekadischer Logarithmus). Dieser Rechner folgt der üblichen Konvention wissenschaftlicher Taschenrechner: log berechnet zur Basis 10, also log(1000) = 3.
ln ist die Basis e (natürlicher Logarithmus), wobei e ≈ 2.71828... ist. Drücke ln, um zur Basis e zu rechnen, also ln(e) = 1.

Die beiden lassen sich über einen Basiswechsel ineinander überführen: Jeder Logarithmus lässt sich durch jeden anderen ausdrücken. Deshalb kann eine Seite mit einem Logarithmus-Rechner und einem natürlichen Logarithmus-Rechner „beliebige Basis“ und „Basis e“ nebeneinander anbieten, ohne die Mathematik zu duplizieren.

Durchgerechnetes Beispiel 2: Basen vergleichen. log(100) = 2 (Basis 10), aber ln(100) = 4.60517018599 (Basis e). Beide beantworten dieselbe Frage, „welche Potenz der Basis?“, nur mit verschiedenen Basen, und beide lassen sich rasch auf der Seite Logarithmus- und Exponentenregeln nachrechnen.

Logarithmen pressen riesige Bereiche zusammen

Die Eigenschaft, die Logarithmen nützlich macht, ist, dass sie Multiplikation in Addition verwandeln: log(a × b) = log(a) + log(b). Statt mit enorm großen Zahlen zu hantieren, addiert man ihre Logarithmen. Deshalb tauchen logarithmische Skalen überall auf, wo Zahlen über viele Zehnerpotenzen reichen, von der Richterskala für Erdbeben über die Dezibelskala für Schall bis zur wissenschaftlichen Schreibweise in der Physik.

Durchgerechnetes Beispiel 3: ein Test der Potenzregel. Die Potenzregel besagt log(aⁿ) = n × log(a). Prüfe sie nach: log(10⁶) = log(1,000,000) = 6, und 6 × log(10) = 6 × 1 = 6. Beide Wege stimmen überein.

Die Basiswechselformel nutzen

Taschenrechner bieten nur zwei eigene Logarithmus-Tasten, log (Basis 10) und ln (Basis e), aber mit einer einzigen Formel findet man den Logarithmus zu jeder beliebigen Basis: logᵦ(x) = log(x) / log(b). Man teilt den Zehnerlogarithmus der Zahl durch den Zehnerlogarithmus der gewünschten Basis, und die Zehnerbasis-Anteile kürzen sich heraus, sodass das Ergebnis in der gewünschten Basis übrig bleibt.

Durchgerechnetes Beispiel 4: Logarithmus von 8 zur Basis 2. Angenommen, gesucht ist log₂(8), die Potenz von 2, die 8 ergibt. Nach der Formel gilt: log₂(8) = log(8) / log(2) = 0.90309 / 0.30103 = 3. Das stimmt auch direkt, denn 2³ = 8. Derselbe Trick funktioniert mit ln anstelle von log, weil sich die Zehnerbasis-Anteile so oder so kürzen: ln(8) / ln(2) = 2.07944 / 0.69315 = 3.

So helfen Logarithmen auch beim Lösen von Exponentialgleichungen. Um 10ˣ = 500 nach x aufzulösen, nimmt man auf beiden Seiten den Logarithmus: x = log(500). Da 500 zwischen 100 (log = 2) und 1000 (log = 3) liegt, sollte die Antwort zwischen 2 und 3 liegen, und genau das trifft zu: log(500) ≈ 2.699. Gibt man 10^2.699 in den Exponentialrechner ein, landet das Ergebnis wieder nahe bei 500, was die Umkehrung bestätigt.

Häufig gestellte Fragen

Was ist ein Logarithmus in einfachen Worten?

Es ist der Exponent, nach dem rückwärts gefragt wird. log(x) ist „welche Potenz der Basis ergibt x?“, also log(1000) = 3, weil 10³ = 1000.

Was ist der Unterschied zwischen log und ln?

log ist die Basis 10, ln die Basis e ≈ 2.71828. Auf diesem Rechner bedeutet die log-Taste immer Basis 10 und die ln-Taste immer den natürlichen Logarithmus.

Warum ist log(1) immer 0?

Weil jede Basis hoch 0 gleich 1 ist: 10⁰ = 1, e⁰ = 1 und so weiter. Der Logarithmus liest das als 0 zurück.

Kann man den Logarithmus einer negativen Zahl bilden?

Nicht als reelle Zahl, denn keine reelle Potenz einer positiven Basis ergibt ein negatives Ergebnis. Die Eingabe von log(-5) liefert einen Fehler, und der Leitfaden zu den Rechner-Fehlermeldungen erklärt, warum.