Un logarithme répond à la question “quelle puissance de la base donne ce nombre ?” Par exemple, log(1000) = 3 parce que 10³ = 1000. Saisissez cette idée et chaque logarithme que vous rencontrerez n’est que l’exposant demandé sous un autre habit.

Points clés

Un logarithme est l’inverse d’une puissance : log(1000) = 3 parce que 10³ = 1000.

Le logarithme en base 10, noté log, compte les puissances de dix et sert aux scientifiques à compresser les échelles.

Le logarithme népérien, noté ln, est en base e ≈ 2.71828, le nombre qui se cache derrière la croissance.

log(1) = 0 et log(10) = 1 pour toute base valide, ce qui constitue une vérification rapide.

Qu’est-ce qu’un logarithme ?

Un logarithme (abrégé log) est l’opération inverse de l’exponentiation. Là où une puissance répond à “que vaut 10³ ?”, un logarithme pose la question inverse : “à quelle puissance dois-je élever 10 pour obtenir le nombre devant moi ?” Ainsi, log(1000) signifie “la puissance de 10 qui vaut 1000”, et comme 10³ = 1000, la réponse est 3.

Exemple détaillé 1 : lire un logarithme en base 10. log(100) = 2 parce que 10² = 100. log(10) = 1 parce que 10¹ = 10. log(1) = 0 parce que 10⁰ = 1. Enfin, log(0.01) = -2 parce que 10⁻² = 0.01. Tapez log(100) sur la calculatrice de logarithmes pour vérifier qu’elle renvoie 2.

Comment lire un logarithme décimal

Les logarithmes ne tombent pas toujours juste, et la partie décimale indique où se situe le nombre entre deux puissances de dix. Comme 100 = 10² et 1000 = 10³, un nombre entre les deux, comme 300, a un logarithme entre 2 et 3 : log(300) ≈ 2.477. La partie entière (2) donne l’ordre de grandeur ; la fraction (0.477) précise la position à l’intérieur de cette décennie. C’est le même raisonnement que celui de la notation scientifique, où 300 s’écrit 3.0 × 10².

Le logarithme en base 10 et le logarithme népérien

La base d’un logarithme s’écrit en petit indice, mais sur les calculatrices courantes deux bases dominent et chacune possède une touche dédiée :

log est en base 10 (logarithme décimal). Cette calculatrice suit la convention des calculatrices scientifiques : la touche log calcule en base 10, donc log(1000) = 3.
ln est en base e (logarithme népérien), avec e ≈ 2.71828.... Appuyez sur ln pour calculer en base e, donc ln(e) = 1.

Les deux sont interchangeables grâce au changement de base : tout logarithme peut s’écrire dans n’importe quelle autre base. C’est pourquoi un site qui propose à la fois une calculatrice de logarithmes et une calculatrice de logarithme népérien peut offrir “n’importe quelle base” et “base e” côte à côte sans dupliquer les calculs.

Exemple détaillé 2 : comparer les bases. log(100) = 2 (base 10), mais ln(100) = 4.60517018599 (base e). Les deux répondent à la même question, “quelle puissance de la base ?”, juste avec des bases différentes, et les deux se reproduisent facilement sur la page règles des logarithmes et des exposants.

Les logarithmes compressent d’immenses échelles

La propriété qui rend les logarithmes utiles, c’est qu’ils transforment la multiplication en addition : log(a × b) = log(a) + log(b). Au lieu de manipuler des nombres énormes, on additionne leurs logarithmes. C’est pour cela que les échelles logarithmiques apparaissent partout où les nombres s’étalent sur plusieurs puissances de dix, de l’échelle de Richter pour les séismes à l’échelle des décibels pour le son, en passant par la notation scientifique utilisée en physique.

Exemple détaillé 3 : tester la règle de la puissance. La règle de la puissance dit que log(aⁿ) = n × log(a). Vérifions : log(10⁶) = log(1,000,000) = 6, et 6 × log(10) = 6 × 1 = 6. Les deux méthodes concordent.

Utiliser la formule de changement de base

Les calculatrices n’offrent que deux touches de logarithme dédiées, log (base 10) et ln (base e), mais on peut trouver un logarithme dans n’importe quelle base grâce à une seule formule : logᵦ(x) = log(x) / log(b). Il suffit de diviser le logarithme en base 10 du nombre par le logarithme en base 10 de la base voulue ; les parties en base 10 s’annulent et il ne reste que la réponse dans la base demandée.

Exemple détaillé 4 : logarithme en base 2 de 8. Supposons que vous ayez besoin de log₂(8), la puissance de 2 qui donne 8. D’après la formule, log₂(8) = log(8) / log(2) = 0.90309 / 0.30103 = 3. Cela se vérifie directement aussi, puisque 2³ = 8. La même astuce fonctionne avec ln à la place de log, car les parties en base 10 s’annulent dans les deux cas : ln(8) / ln(2) = 2.07944 / 0.69315 = 3.

C’est aussi ainsi que les logarithmes permettent de résoudre les équations exponentielles. Pour résoudre 10ˣ = 500 pour x, prenez le logarithme des deux membres : x = log(500). Comme 500 se situe entre 100 (log = 2) et 1000 (log = 3), la réponse doit se trouver entre 2 et 3, et c’est bien le cas : log(500) ≈ 2.699. Entrez 10^2.699 dans la calculatrice d’exposants et vous retombez près de 500, ce qui confirme le résultat.

Questions fréquentes

Qu’est-ce qu’un logarithme, simplement ?

C’est l’exposant demandé à l’envers. log(x) demande “quelle puissance de la base donne x ?”, donc log(1000) = 3 parce que 10³ = 1000.

Quelle est la différence entre log et ln ?

log est en base 10 ; ln est en base e ≈ 2.71828. Sur cette calculatrice, la touche log signifie toujours base 10 et la touche ln signifie toujours logarithme népérien.

Pourquoi log(1) vaut-il toujours 0 ?

Parce que toute base élevée à la puissance 0 vaut 1 : 10⁰ = 1, e⁰ = 1, et ainsi de suite. Le logarithme relit cela comme 0.

Peut-on prendre le logarithme d’un nombre négatif ?

Pas avec des nombres réels, car aucune puissance réelle d’une base positive ne donne un résultat négatif. Saisir log(-5) renvoie une erreur, et le guide des messages d’erreur de la calculatrice explique pourquoi.