एक सार्थक अंक वह अंक है जिसे आप असली होने के तौर पर साबित कर सकते हैं। 12.345 में पाँच सार्थक अंक हैं, और 0.000104 में तीन, क्योंकि आगे के शून्य केवल दशमलव बिंदु की जगह तय करते हैं। जब आप गुणा या भाग करते हैं, तो जवाब इनपुट में सबसे कम सार्थक अंकों की संख्या बनाए रखता है। जब आप जोड़ या घटाव करते हैं, तो यह सबसे कम दशमलव स्थान बनाए रखता है। ये दो नियम अधिकतर व्यावहारिक राउंडिंग को कवर करते हैं।
मुख्य बातें
12.345में पाँच सार्थक अंक हैं; तीन तक राउंड करने पर यह12.3बन जाता है।- आगे के शून्य कभी नहीं गिनते:
0.000104में तीन हैं, और वैज्ञानिक संकेतन में यह1.04 × 10⁻⁴है।- गुणा और भाग में, परिणाम सबसे कम सार्थक अंक बनाए रखता है:
3.14 × 2.7 = 8.478, जो8.5तक राउंड होता है।- जोड़ और घटाव में, परिणाम सबसे कम दशमलव स्थान बनाए रखता है:
12.34 + 5.6 = 17.9।
सार्थक अंक क्या है?
एक सार्थक अंक वह अंक है जो किसी संख्या के आकार के बारे में जानकारी रखता है। 2.500 लिखना 2.5 लिखने से बड़ा दावा करता है: पहला कहता है कि मान हज़ारवें स्थान तक ज्ञात है, दूसरा सिर्फ़ दसवें स्थान तक। सार्थक अंक यह रिकॉर्ड करने का सहमत तरीका हैं कि कोई संख्या असल में कितना जानती है, और सार्थक अंकों की गाइड पेज नियमों को एक जगह पर रखता है।
गिनने के नियम
चार गिनती वाले नियम लगभग हर मामले को कवर करते हैं जो आपको मिलेगा:
- हर नॉनज़ीरो अंक गिना जाता है।
12.345में पाँच सार्थक अंक हैं। - नॉनज़ीरो अंकों के बीच के शून्य गिने जाते हैं।
1004में चार हैं। - दशमलव बिंदु के बाद पीछे के शून्य गिने जाते हैं।
200.0में चार हैं। - पहले नॉनज़ीरो अंक से पहले के आगे के शून्य नहीं गिने जाते।
0.000104में तीन हैं।
0.000104 में आगे के शून्य केवल दशमलव बिंदु की स्थिति तय करते हैं। संख्या को वैज्ञानिक संकेतन में लिखें और वे गायब हो जाते हैं: 1.04 × 10⁻⁴। अब गिनती अंकों में ही साफ़ दिखाई देती है, यही वजह है कि वैज्ञानिक संकेतन और सार्थक अंक अक्सर साथ आते हैं।
किसी चुनी हुई संख्या तक सार्थक अंकों को राउंड करना
N सार्थक अंकों तक राउंड करने के लिए, बाईं ओर से अंक पढ़ें, उनमें से N रखें, और अगला अंक तय करे। प्लेसहोल्डर शून्य बने रहते हैं ताकि संख्या अपना आकार बनाए रखे।
वर्किंग उदाहरण: 3.14159 को चार सार्थक अंकों तक राउंड करें। पहले चार अंक 3.141 हैं, और पाँचवाँ 5 है, इसलिए आखिरी रखा गया अंक ऊपर की ओर राउंड होता है: 3.142। तुलना के लिए, यह कैलकुलेटर अपने 12-अंक डिस्प्ले पर π को 3.14159265359 दिखाता है।
वर्किंग उदाहरण: 12.345 को तीन सार्थक अंकों तक राउंड करें। 12.3 रखें। अगला अंक 4 है, जो 3 को वैसा ही छोड़ देता है। जवाब है 12.3।
वर्किंग उदाहरण: 0.000104 को दो सार्थक अंकों तक राउंड करें। 1.0 रखें और स्थान मूल्य संरक्षित करें: 0.00010। कैलकुलेटर में 0.000104 टाइप करें और डिस्प्ले 1.04 × 10⁻⁴ लौटाता है, जो एक नज़र में तीन असली अंक दिखाता है।
गणनाओं में सार्थक अंक
यह कैलकुलेटर, अधिकतर की तरह, दिखाए जाने से ज़्यादा अंकों के साथ गणना करता है और डिस्प्ले को 12 सार्थक अंकों तक राउंड करता है। परिणाम पर सार्थक अंक नियम आप खुद हाथ से लागू करते हैं। दो अलग-अलग नियम लागू होते हैं, और इन्हें मिलाना गलत जवाबों का सबसे आम स्रोत है।
गुणा और भाग: सबसे कम सार्थक अंक
सामान्य रूप से गुणा या भाग करें, फिर इनपुट में सबसे कम सार्थक अंकों तक राउंड करें। 3.14*2.7 से कैलकुलेटर 8.478 लौटाता है। इनपुट में तीन और दो सार्थक अंक हैं, इसलिए ईमानदार परिणाम दो रखता है: 8.5।
जोड़ और घटाव: सबसे कम दशमलव स्थान
जोड़ और घटाव इस बात की परवाह करते हैं कि अनिश्चितता कहाँ बैठी है, कितने अंक हैं इसकी नहीं। 12.34+5.6 से कच्चा परिणाम 17.94 है, लेकिन 5.6 केवल दसवें स्थान तक जाना जाता है, इसलिए योग को केवल दसवें स्थान तक ही भरोसा किया जा सकता है: 17.9।
गुणा और जोड़ में अंतर क्यों है
एक गुणनफल में, अंकों की गिनती संयुक्त होती है, और सबसे छोटा इनपुट जवाब को सीमित करता है। एक योग में, हर इनपुट अपना खुद का आखिरी भरोसेमंद स्थान बनाए रखता है, और सबसे कम सटीक इनपुट अंतिम दशमलव स्थान तय करता है। दोनों नियम इसलिए मौजूद हैं ताकि कोई भी किसी परिणाम में उससे ज़्यादा निश्चितता न पढ़े जितनी मापों की अनुमति है।
मापन में सार्थक अंक क्यों मायने रखते हैं
हर मापी गई संख्या अनिश्चितता वहन करती है, और सार्थक अंक इसे रिकॉर्ड करने का संक्षिप्त तरीका हैं। 200.0 g पढ़ने वाला एक तराज़ू ग्राम के दसवें हिस्से तक की सटीकता का दावा करता है। वही तराज़ू 200 g पढ़ते हुए सिर्फ़ निकटतम सौ ग्राम का दावा करता है। पीछे का शून्य ही दो उपकरणों के बीच का अंतर है, और इसे लिखना पाठक को बताता है कि आपने कौन-सा इस्तेमाल किया। पैसे, इंजीनियरिंग टॉलरेंस, और लैब डेटा में, अतिरिक्त शून्य बदल देता है कि संख्या का इस्तेमाल कैसे किया जा सकता है।
जहाँ सार्थक अंक फ़्लोटिंग पॉइंट से मिलते हैं
बाइनरी कैलकुलेटर अधिकतर दशमलव संख्याओं को थोड़ा ग़लत ढंग से सहेजते हैं, क्योंकि 0.1 जैसी संख्याएँ बेस 2 में ठीक-ठीक मौजूद नहीं होतीं। फ़्लोटिंग पॉइंट अंकगणित गाइड बताती है कि परिणामों को डिस्प्ले के लिए वापस कैसे राउंड किया जाता है। 0.1 प्लस 0.2 पोस्ट पर्दे के पीछे का कच्चा 0.30000000000000004 दिखाती है। सार्थक अंक वह भाषा है जिसमें आप बताते हैं कि सहेजे गए अंकों में से आप असल में किन पर भरोसा करते हैं, और यही ठीक वह कारण है कि रोज़मर्रा के काम के लिए 12-अंक का डिस्प्ले सुरक्षित है: असली सटीकता वे अंक हैं जो आपने अभी गिने, कैलकुलेटर ने आखिर में प्रिंट किए हुए आखिरी कुछ अंक नहीं।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या पीछे के शून्य सार्थक अंक गिने जाते हैं?
यह इस पर निर्भर करता है कि दशमलव बिंदु कहाँ बैठता है। दशमलव बिंदु के बाद के शून्य गिने जाते हैं, इसलिए 200.0 में चार हैं। किसी पूर्ण संख्या में साधारण पीछे के शून्य अस्पष्ट होते हैं, यही वजह है कि वैज्ञानिक संकेतन मौजूद है: 2.00 × 10⁵ स्पष्ट रूप से तीन सार्थक अंकों का मतलब रखता है, जबकि अकेला 200000 कुछ नहीं बताता।
क्या मुझे किसी गणना के हर चरण पर राउंड करना चाहिए?
नहीं। एक बार, अंत में राउंड करें। मध्यवर्ती परिणामों को राउंड करना छोटी-छोटी त्रुटियों को जमा करता है और सटीकता ट्रैक करने के पूरे उद्देश्य को विफल करता है।
गुणा और जोड़ के बीच नियम क्यों बदलता है?
क्योंकि दोनों ऑपरेशन अलग-अलग तरीके से विफल होते हैं। गुणा अंकों की गिनतियों को जोड़ता है, इसलिए सबसे छोटा इनपुट गुणनफल को सीमित करता है। जोड़ स्थान मूल्य बनाए रखता है, इसलिए सबसे कम सटीक इनपुट अंतिम दशमलव स्थान तय करता है। ये परंपराएँ हर ऑपरेशन के लिए रिपोर्ट किए गए परिणाम को ईमानदार रखती हैं।
क्या यह कैलकुलेटर सार्थक अंकों तक अपने आप राउंड करता है?
नहीं। यह डिस्प्ले को 12 सार्थक अंकों तक राउंड करता है, चाहे उनकी गिनती कुछ भी हो। आप अंतिम जवाब के लिए सार्थक अंकों की संख्या खुद चुनते हैं और दिखाए गए मान को खुद राउंड करते हैं।