π è il rapporto tra la circonferenza di un cerchio e il suo diametro. Misura un cerchio qualsiasi, dividi la distanza intorno per la distanza attraverso, e ottieni sempre 3,14159… È per questo che la circonferenza di un cerchio è 2πr e la sua area è πr², e spiega perché il tasto π ricompare continuamente in geometria, trigonometria e calcoli sulle onde.

Punti chiave

π = circonferenza ÷ diametro, circa 3,14159 per ogni cerchio.

π è irrazionale: le cifre non si ripetono né terminano mai (3,141592653589793).

Area di un cerchio di raggio 2: π × 2² = 12,5663706144.

Circonferenza di un cerchio di raggio 5: 2 × π × 5 = 31,4159265359.

Cos’è π

Prendi un oggetto circolare qualsiasi. Avvolgici intorno una cordicella, segna la lunghezza, poi posiziona quella stessa lunghezza lungo la larghezza. Il rapporto tra le due lunghezze è π, circa 3,14. Il rapporto non dipende dalla dimensione del cerchio. Una moneta e la ruota di una bicicletta danno entrambe lo stesso valore, perché ogni cerchio è una copia in scala di ogni altro cerchio. Quella invarianza di scala è l’intera ragione per cui un solo numero può descriverli tutti.

La relazione si scrive di solito in due modi: circonferenza = π × diametro, oppure circonferenza = 2πr dove r è il raggio. Poiché il diametro è il doppio del raggio, le due forme dicono la stessa cosa.

Esempio svolto 1: circonferenza dal raggio. Un cerchio ha raggio 5. Digita 2pi5 sulla calcolatrice. Restituisce 31,4159265359. Se preferisci partire dal diametro, lo stesso risultato viene da pi*10.

Perché le cifre non finiscono mai

π è irrazionale, il che significa che nessuna frazione di numeri interi lo eguaglia esattamente, e il suo sviluppo decimale non si assesta mai in uno schema che si ripete. La calcolatrice memorizza π con quindici o sedici cifre: 3,141592653589793. Usare 3,14 per stime approssimative va bene, e 22/7 è una famosa approssimazione di uso quotidiano, ma nessuna delle due è esattamente π. Per un lavoro di precisione conservi il simbolo nell’espressione e lasci che la calcolatrice lo applichi alla fine.

Le due formule davvero utili

La circonferenza, 2πr, e l’area, πr², coprono la maggior parte degli usi reali di π.

Esempio svolto 2: area di un cerchio. Ti serve l’area di un cerchio di raggio 2. Digita pi*2^2. Poiché ^ si lega più strettamente della moltiplicazione, la calcolatrice lo legge correttamente come π × (2²), e restituisce 12,5663706144. Verifica approssimativa con π ≈ 3,14: 3,14 × 4 = 12,56, e la risposta esatta sta proprio lì accanto.

Quando il raggio non è un numero intero, ad esempio √2, la calcolatrice mantiene comunque π separato dalla radice fino all’ultimo passaggio. Il riferimento delle funzioni della calcolatrice mostra come i tasti funzione come √ e il tasto costante π si combinano.

Oltre i cerchi: il volume

Lo stesso π ricompare ovunque i cerchi si sovrappongano in tre dimensioni. Un cilindro di raggio r e altezza h ha volume πr²h. Una sfera di raggio r ha volume (4/3)πr³. Nessuna delle due formule va memorizzata a memoria se ricordi che l’area πr² è la base di ciascuna, e la terza dimensione aggiunge semplicemente la lunghezza.

Esempio svolto: volume di un cilindro. Un cilindro ha raggio 3 e altezza 5. Digita pi3^25. La calcolatrice lo legge come π × 3² × 5 = 45π, e restituisce 141,371669412. Mantieni π nell’espressione e l’arrotondamento avviene una sola volta, alla fine, invece che a ogni passaggio intermedio.

π nella trigonometria

Le funzioni trigonometriche prendono angoli come input, e quegli angoli si misurano in radianti o in gradi. Un giro completo attorno a un cerchio è 360 gradi, e in radianti quello stesso giro è 2π. Quindi mezzo giro è π, un quarto di giro è π/2, e le identità trigonometriche risultano pulite in misura radiante. Questo sito ha come predefinito la modalità gradi, quindi prima di mescolare π in un’espressione trigonometrica, passa ai radianti. La guida gradi contro radianti spiega l’interruttore e quando ciascuna modalità è quella giusta.

Esempio svolto 3: seno di mezzo giro. Passa la calcolatrice in RAD, poi digita sin(pi/2). Restituisce 1. La ragione è geometrica: π/2 radianti sono 90 gradi, e l’altezza del cerchio unitario a un quarto di giro è esattamente 1. Il riferimento di trigonometria elenca l’intero insieme di questi valori chiave.

Usare il tasto π

Usa il tasto π, o digita pi, e la calcolatrice mantiene la costante in forma simbolica dentro l’espressione finché non premi =.
Scrivi l’intera formula prima di calcolare: pi*2^2 dà 12,5663706144 in un solo passaggio.
π compare nelle formule delle onde, sin(x), cos(x), e ogni volta che converti i gradi in radianti, quindi avere familiarità con dove si colloca fa risparmiare continui ricontrolli.

Domande frequenti

π è esattamente 3,14?

No. 3,14 è un’approssimazione arrotondata. π è 3,141592653589793…, e le cifre continuano senza ripetersi. Sulla calcolatrice, digitare pi mantiene il valore completo.

Qual è il valore di pi greco?

π ≈ 3,141592653589793. La calcolatrice memorizza internamente quel valore e lo mostra arrotondato a dodici cifre significative quando calcoli un pi isolato.

Perché π compare in trigonometria?

Perché un cerchio completo è 2π radianti, che equivale a 360 gradi. Le misure angolari in radianti sono costruite a partire da π, quindi identità trigonometriche e grafici si basano tutti su di esso.

Come digito pi greco sulla calcolatrice?

Premi il tasto π o digita pi. Inserisce la costante nella tua espressione, quindi pi*2^2 calcola l’area del cerchio anche se non hai mai digitato un decimale.