π 是圆的周长与直径之比。测量任意一个圆，把周长除以直径，每次都会得到 3.14159…。这就是为什么圆的周长是 2πr、面积是 πr²，也解释了为什么 π 键会不断出现在几何、三角函数和波动计算中。

要点速览

π = 周长 ÷ 直径，任何圆都约等于 3.14159。

π 是无理数：小数位既不循环也不终止（3.141592653589793）。

半径为 2 的圆的面积：π × 2² = 12.5663706144。

半径为 5 的圆的周长：2 × π × 5 = 31.4159265359。

π 是什么

拿起任意一个圆形物体。用绳子绕它一圈，做个标记，再把这段绳子的长度和它的宽度比一比。这两段长度之比就是 π，约等于 3.14。这个比值不取决于圆的大小。一枚硬币和一个自行车轮子给出的值完全相同，因为每一个圆都是另一个圆的等比例缩放。正是这种与大小无关的特性，让一个数字就能描述所有的圆。

这个关系通常有两种写法：周长 = π × 直径，或者周长 = 2πr（r 为半径）。由于直径是半径的两倍，这两种写法说的是同一件事。

示例一：由半径求周长。 一个圆的半径是 5。在计算器上输入 2pi5，返回 31.4159265359。如果更习惯从直径出发，用 pi*10 也能得到同样的结果。

为什么小数位永不终止

π 是无理数，意味着没有任何两个整数的比值能精确等于它，它的小数展开也永远不会落入循环模式。计算器把 π 存储到十五、十六位数字：3.141592653589793。粗略估算时用 3.14 完全没问题，22/7 是一个著名的日常近似值，但两者都不是精确的 π。要做精确计算，就应该在表达式里保留 π 这个符号，让计算器在最后一步才代入。

两个真正派上用场的公式

周长公式 2πr 和面积公式 πr²，占了 π 实际用途的大多数。

示例二：圆的面积。 需要求半径为 2 的圆的面积。输入 pi*2^2。因为 ^ 的优先级高于乘法，计算器会正确地读作 π × (2²)，返回 12.5663706144。用 π ≈ 3.14 粗算一下：3.14 × 4 = 12.56，正好落在精确答案旁边。

当半径不是整数，比如 √2 时，计算器仍然会把 π 和根号分开处理，直到最后一步才合并。计算器函数参考展示了 √ 这类函数键和常数键 π 是如何组合使用的。

不只是圆：体积

只要圆在三维空间中层层堆叠，π 就会出现。半径为 r、高为 h 的圆柱体积是 πr²h。半径为 r 的球体积是 (4/3)πr³。只要记住面积公式 πr² 是每个立体图形的底面，第三个维度只是再加上一段长度，这两个公式就不必死记硬背。

示例：圆柱的体积。 一个圆柱半径为 3，高为 5。输入 pi3^25。计算器把它读作 π × 3² × 5 = 45π，返回 141.371669412。在表达式中保留 π，只在最后一步统一取近似值，而不是在每个中间步骤都四舍五入。

π 在三角函数中的应用

三角函数以角度作为输入，而角度可以用弧度或度数来度量。绕圆一整圈是 360 度，用弧度表示同样是 2π。所以半圈是 π，四分之一圈是 π/2，三角恒等式在弧度制下写起来最简洁。本站默认使用度数模式，所以在把 π 用进三角表达式之前，要先切换到弧度模式。度数与弧度指南解释了这个切换开关以及各模式的适用场景。

示例三：半圈的正弦值。 把计算器切换到 RAD 模式，输入 sin(pi/2)，返回 1。原因是几何性的：π/2 弧度就是 90 度，而单位圆在四分之一圈处的高度正好是 1。三角函数参考列出了这一整套关键数值。

使用 π 键

使用 π 键，或者直接输入 pi，计算器会在你按下 = 之前一直把这个常数保留为符号形式。
先把整个公式写完再求值：pi*2^2 一步就能得到 12.5663706144。
π 会出现在波动公式、sin(x)、cos(x) 以及任何度数转弧度的场合，对它出现的位置熟悉起来，能省去反复核对的麻烦。

常见问题

π 精确等于 3.14 吗？

不是。3.14 只是一个四舍五入的近似值。π 是 3.141592653589793…，小数位不断延续、永不循环。在计算器上输入 pi 会保留完整精度的值。

π 的值是多少？

π ≈ 3.141592653589793。计算器在内部存储这个值，在你对一个单独的 pi 求值时，会显示为十二位有效数字的四舍五入结果。

为什么 π 会出现在三角函数里？

因为一整圈是 2π 弧度，也就是 360 度。弧度这种角度度量本身就是由 π 构建的，所以三角恒等式和图像都离不开它。

如何在计算器上输入 pi？

按下 π 键或输入 pi。它会把这个常数插入表达式，所以即使你没有输入任何小数，pi*2^2 依然能正确计算出圆的面积。