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アルベルト・アインシュタインは複利を「人類最大の発明」「宇宙で最も偉大な力」と評したと伝えられます。線形に増える単利と指数関数的に急増する複利の数学的メカニズムを正しく把握することは、資産形成における必須条件です。
重要ポイント
- 単利の公式 ($I = Prt$)： 当初元本に対してのみ利息が発生。リターンは期間に比例して直線的に増加。
- 複利の公式 ($A = P(1 + r/n)^{nt}$)： 発生した利息が元本に組み入れられ、「利息が利息を生む」指数関数的成長を実現。
- 表面金利（APR）と実効利回り（APY）： APRは複利周期を無視した名目値。APYは再投資効果を織り込んだ年換算の実質利回り。
- 72の法則： 元本を2倍にするために必要な概算年数は「72 ÷ 年利（%）」で算出：$t \approx 72 / r$。
1. 単利計算：直線的な利息の蓄積
単利は短期融資や簡易的な債券、個人間融資などで利用されます：
$$I = P \times r \times t$$ $$A = P + I = P(1 + rt)$$
変数定義：
- $I$ = 発生利息総額
- $P$ = 当初元本
- $r$ = 年利率（小数表記）
- $t$ = 期間（年単位）
- $A$ = 満期時の受取総額
計算例：
$$10,000$ を年利 $6%$（$0.06$）の単利で $5$ 年間預金した場合： $$I = 10000 \times 0.06 \times 5 = $3,000$$ $$\text{受取総額} = $10,000 + $3,000 = $13,000$$
毎年得られる利息は常に一定の $$100$ となります。
2. 複利計算：指数関数的な資産形成
複利運用では、期末ごとに確定した利息が元本に合算され、次期の利息算出の基礎となります：
$$A = P \left(1 + \frac{r}{n} ight)^{nt}$$
$n$ は年間あたりの複利計息頻度を表します：
- 年1回：$n = 1$
- 半年1回：$n = 2$
- 四半期ごと：$n = 4$
- 毎月：$n = 12$
- 毎日：$n = 365$
同じ $$10,000$ を毎月複利で運用した場合：
同額の $$10,000$ を年利 $6%$、期間 $5$ 年間、毎月複利（$n = 12$）で運用すると：
$$A = 10000 \times \left(1 + \frac{0.06}{12} ight)^{12 \times 5} = 10000 \times (1.005)^{60}$$ $$(1.005)^{60} \approx 1.34885 \implies A = 10000 \times 1.34885 = $13,488.50$$
受取利息は $$1,488.50$ となり、単利と比べて $$188.50$ の余剰利益 が複利効果によってもたらされます。
複利の詳しい解説は 複利計算ガイド をご確認ください。
3. 元本10万ドルの複利周期別シミュレーション比較（20年間・年利7%）
計息頻度が高くなるほど、最終的な満期返戻金は増加します：
| 複利サイクル | 年間周期数 ($n$) | 20年後の残高（年利7%） | 獲得利息総額 |
|---|---|---|---|
| 単利 | 0 | $$140,000.00$ | $$140,000.00$ |
| 年1回 | 1 | $$186,968.45$ | $$186,968.45$ |
| 四半期 | 4 | $$100,639.12$ | $$100,639.12$ |
| 毎月 | 12 | $$103,873.88$ | $$103,873.88$ |
| 毎日 | 365 | $$105,472.07$ | $$105,472.07$ |
| 連続複利 ($Pe^{rt}$) | $\infty$ | $$105,519.99$ | $$105,519.99$ |
20年経過後、毎月複利は単利と比べて $$163,800$ 以上もの差額 を生み出します。
4. APR（名目金利）と APY（実効利回り）の違い
金融商品の案内では表示形式に注意が必要です：
- APR（名目年率）： 複利効果を考慮しない表面上の金利。ローン広告等で金利を低く見せるために使われます。
- APY（実効年利）： 複利周期を反映した実質的な年間利回り。預金口座や債券の運用成績を訴求する際に強調されます。
$$\text{APY} = \left(1 + \frac{\text{APR}}{n} ight)^n - 1$$
APR $24%$ で毎日複利計算されるクレジットカードのリボ払いは、実質APY $27.11%$ に相当します：
$$\text{APY} = \left(1 + \frac{0.24}{365}\right)^{365} - 1 \approx 1.2711 - 1 = 27.11%$$
比率の計算には パーセント計算機 および パーセント計算ガイド をご利用ください。
5. 決済手数料と運用元本の関係
送金や決済の手数料は、運用に回せる実質元本を減少させます。受取金額の試算には PayPal手数料計算機 および PayPal手数料ガイド が役立ちます。
よくある質問
「72の法則」とは何ですか？ 投資元本が何年で2倍になるかを概算する暗算法です。72を年利（%）で割ります。年利8%の場合、約 $72 / 8 = 9\text{ 年}$ で2倍になります。
連続複利とは何ですか？ 時間を極限まで細分化し、瞬間ごとに利息を元本へ繰り入れ続ける数学モデルです。自然対数の底 $e \approx 2.71828$ を用い、$A = P \cdot e^{rt}$ の式で求めます。
インフレは複利運用にどのような影響を与えますか？ インフレは将来の購買力を低下させます。名目利回りが5%であってもインフレ率が3%であれば、実質的な購買力の成長率は約 $2%$ にとどまります。
複利が負債として悪影響を及ぼすことはありますか？ あります。キャッシングやリボ払いでは、未払利息が元本に組み入れられることで利息が雪だるま式に膨張し、返済総額が急激に増大します。