科学记数法是把数字写成「一个 1 到 10 之间的值」乘以「10 的若干次方」的一种方式：150,000,000 变成 1.5 × 10⁸。这种形式写作 a × 10ⁿ，其中 a 在 1 到 10 之间（也叫「尾数」），n 是整数。它的存在，是为了让极大和极小的数字都能被可靠地书写、比较和计算。

要点速览

标准形式是 a × 10ⁿ，满足 1 ≤ |a| < 10 且 n 为整数。

87,000,000 = 8.7 × 10⁷，0.00045 = 4.5 × 10⁻⁴：指数记录的是小数点移动的位数。

尾数相乘、指数相加；尾数相除、指数相减。

指数不会改变实测精度，这也是它和有效数字总是配套出现的原因。

什么是科学记数法？

一个用科学记数法写出的数字，恰好由两部分组成：一个尾数（通常是小数点前保留一位非零数字），以及一个 10 的指数，用来把小数点挪到正确的位置。2.5 × 10³ 的意思是从 2.5 出发，把小数点向右移三位，得到 2500。4.5 × 10⁻⁴ 向左移四位，得到 0.00045。这个 10 的乘方其实就是乘方详解一文中讲过的指数概念，应用在我们的十进制数字系统上而已。

科学家和工程师为什么使用它

三个理由让这种记法值得采用：

体量。 阿伏伽德罗常数 6.022 × 10²³，写成 602,200,000,000,000,000,000,000 完全无法阅读。电子的质量 9.11 × 10⁻³¹ 千克，写成小数更糟。字数和显示宽度还只是次要问题，计算机中的浮点运算在数值保持在这个范围内时，表现也更稳定。
可比性。 指数让你一眼就能判断数量级：无论尾数是多少，8.7 × 10⁷ 都比 9.2 × 10⁶ 大一个数量级。
精确性。 1.50 × 10³ 明确表示这是三位有效数字，而单独写 1500 无法做出这个承诺。有效数字指南详细展开了这层关系。

如何把一个数字换算成科学记数法

在第一个非零数字之后放一个小数点，得到尾数，然后数一数小数点移动了几位。向左移得到正指数，向右移得到负指数。

示例一：大数。 87,000,000 → 第一个非零数字是 8，所以尾数是 8.7，小数点向左移动了 7 位。结果：8.7 × 10⁷。在计算器上反推验证：8.7 × 10^7 → 87,000,000。

示例二：小于 1 的分数。 0.00045 → 第一个非零数字是 4，尾数是 4.5，小数点向右移动了 4 位。结果：4.5 × 10⁻⁴。用 4.5 × 10^-4 → 0.00045 核对。

示例三：末尾的零。 2500 → 尾数是 2.5，指数是 3，得到 2.5 × 10³。如果这些零本身就是有意义的测量值，就应该保留在尾数里：三位有效数字的 2500 应写作 2.50 × 10³。

赶时间的话，科学记数法计算器可以双向换算并展示过程，而且对超大的乘方是精确展开的，而不是四舍五入。

如何把科学记数法换算回标准形式

反过来操作：正指数把小数点向右移，负指数向左移。正指数会把数字放大，负指数会把数字缩小。

示例四：换回普通数字。 2.5 × 10³ = 2500（向右移 3 位）。4.2 × 10⁻⁵ = 0.000042（向左移 5 位）。1.5 × 10⁸ = 150,000,000。在计算器上试试 4.2 × 10^-5，确认它显示为 0.000042。

科学记数法下的四则运算

尾数和指数按简单的规则组合，这正是这种记法带来的好处。

示例五：乘法。 (2.0 × 10³) × (3.0 × 10²) → 尾数相乘（2.0 × 3.0 = 6.0），指数相加（3 + 2 = 5），得到 6.0 × 10⁵。计算器的结果一致：(2.0 × 10^3) × (3.0 × 10^2) → 600,000。

示例六：除法。 (8.4 × 10⁴) ÷ (2.0 × 10²) → 尾数相除（8.4 ÷ 2.0 = 4.2），指数相减（4 − 2 = 2），得到 4.2 × 10² = 420。

示例七：加法与减法。 先对齐指数。(1.5 × 10⁸) + (2.2 × 10⁸) 因为幂次相同，可以直接相加：1.5 + 2.2 = 3.7，所以和是 3.7 × 10⁸。输入 (1.5 × 10^8) + (2.2 × 10^8) → 370,000,000。

科学记数法与有效数字

尾数承载着每一个有意义的数字，指数只负责放置小数点，所以这两个概念密不可分。3.0 × 10⁸ 声明的是两位有效数字；3.00 × 10⁸ 声明的是三位有效数字，两者的数值完全相同。当计算器的显示结果出现类似 6.022e+23 这样的形式时，指数告诉你数量级，尾数则守住了精度的真实性。科学记数法计算器和有效数字指南都对尾数和指数做了充分的说明。

使用 SCI 模式与计算器记法

包括本站计算器在内的科学计算器，都能自动以这种形式显示数字。按下 SCI 切换键会重新格式化结果：输入 123456789 并打开 SCI 模式，显示会变成 1.23456789e+8，其中的 e+8 表示「× 10⁸」。数值本身没有变化，变的只是显示方式。在键盘上输入这种记法的经验法则：用 ^ 键表示乘方（6.022 × 10^23），单独的 10 就是 10^1，负指数需要用负号键或 -（9.11 × 10^-31）。在还没确定具体指数之前，可以先用乘方计算器完成底层的乘方运算。

常见问题

为什么科学记数法有时会写成带「e」的形式？

e 表示「exponent（指数）」：1.23456789e+8 的意思是 1.23456789 × 10⁸。显示屏和编程语言使用这种写法，是因为普通文本无法总是渲染上标。

科学记数法和标准形式有什么区别？

它们是同一个数字的两种不同「外观」。标准形式把每一位数字都写出来（87,000,000）；科学记数法把它压缩成尾数和乘方（8.7 × 10⁷）。a × 10ⁿ 的规则是 a 必须落在 1 到 10 之间。

如何在计算器上输入 `6.022 × 10²³` 这样的数字？

输入 6.022 × 10^23 并按下 =。结果会显示为 6.022e+23。对于 9.11 × 10⁻³¹，输入 9.11 × 10^-31。

`2.5 × 10³` 有几位有效数字？

两位：2 和 5。仅用来定位小数点的零属于指数部分，不属于尾数，这正是为什么会有 2.50 × 10³ 这种写法来表示「三位有效数字」。