科学的記数法とは、数を1から10の間の値と10のべき乗の積として書く方法です。150,000,000 は 1.5 × 10⁸ になります。形式は a × 10ⁿ で、a は1から10の間の値(「仮数」)、n は整数です。これによって、非常に大きい数や小さい数を確実に書き、比較し、計算できるようになります。

要点まとめ

標準形は a × 10ⁿ で、1 ≤ |a| < 10、n は整数です。

87,000,000 = 8.7 × 10⁷、0.00045 = 4.5 × 10⁻⁴。指数は小数点の移動回数を数えたものです。

掛け算では仮数同士を掛け、指数同士を足します。割り算では仮数同士を割り、指数同士を引きます。

指数は測定精度そのものを変えません。だからこそ有効数字と組み合わせて使われます。

科学的記数法とは何か

科学的記数法で書かれた数は、正確に2つの要素からなります。通常は小数点の前に0でない1桁を持つ仮数と、その小数点を正しい位置まで動かすための10のべき指数です。2.5 × 10³ は、2.5から始めて小数点を右に3桁動かすことを意味し、2500 になります。4.5 × 10⁻⁴ は左に4桁動かすことを意味し、0.00045 になります。この10のべき乗は、指数の解説の記事で扱っている指数の考え方を、10進法の数値体系に当てはめただけのものです。

科学者や技術者がこれを使う理由

この記数法に切り替える価値がある理由は3つあります。

サイズ。 アボガドロ数、6.022 × 10²³ は、602,200,000,000,000,000,000,000 という小数として書くと読めたものではありません。電子の質量、9.11 × 10⁻³¹ kg は小数で書くとさらにひどいことになります。単語数や表示幅の問題だけではありません。コンピュータの浮動小数点演算も、この範囲に収まる数のほうがうまく処理できます。
比較のしやすさ。 指数を見れば一目で桁の大きさを比較できます。仮数がどうであれ 8.7 × 10⁷ は 9.2 × 10⁶ より1桁大きいとわかります。
正確さ。 1.50 × 10³ は3桁の有効数字があることを明確に示していますが、無地の 1500 ではそれを保証できません。有効数字ガイドではこの関係を詳しく展開しています。

数を科学的記数法に変換する方法

最初の0でない数字の後ろに小数点を置いて仮数を作り、それを何桁動かしたかを数えます。左への移動は正の指数、右への移動は負の指数になります。

計算例1: 大きな数。 87,000,000 → 最初の0でない数字は8なので仮数は 8.7、小数点は左に7桁動きます。結果: 8.7 × 10⁷。電卓で 8.7 × 10^7 と入力すると → 87,000,000 に戻ることを確認できます。

計算例2: 1未満の数。 0.00045 → 最初の0でない数字は4なので仮数は 4.5、小数点は右に4桁動きます。結果: 4.5 × 10⁻⁴。4.5 × 10^-4 と入力して → 0.00045 と確認できます。

計算例3: 末尾のゼロ。 2500 → 仮数は 2.5、指数は 3 で、2.5 × 10³ になります。もしそのゼロが意味のある測定値であれば、仮数の中に残しておきます。3桁の有効数字を持つ2500は 2.50 × 10³ です。

急いでいるときは、科学的記数法電卓がどちらの方向にも変換して過程を示してくれます。非常に大きなべき乗も丸めずに正確に展開します。

科学的記数法を標準形に戻す方法

規則を逆にします。正の指数は小数点を右に、負の指数は左に動かします。正の指数は数を大きく引き伸ばし、負の指数は縮めます。

計算例4: 通常の数に戻す。 2.5 × 10³ = 2500(右に3桁移動)。4.2 × 10⁻⁵ = 0.000042(左に5桁移動)。1.5 × 10⁸ = 150,000,000。電卓で 4.2 × 10^-5 を試して 0.000042 が表示されることを確認してください。

科学的記数法での計算

仮数と指数はシンプルな規則で組み合わされます。これがこの記数法の見返りです。

計算例5: 掛け算。 (2.0 × 10³) × (3.0 × 10²) → 仮数を掛け(2.0 × 3.0 = 6.0)、指数を足す(3 + 2 = 5)ので、6.0 × 10⁵ になります。電卓も同じ結果です。(2.0 × 10^3) × (3.0 × 10^2) → 600,000。

計算例6: 割り算。 (8.4 × 10⁴) ÷ (2.0 × 10²) → 仮数を割り(8.4 ÷ 2.0 = 4.2)、指数を引く(4 − 2 = 2)ので、4.2 × 10² = 420。

計算例7: 足し算と引き算。 まず指数をそろえます。(1.5 × 10⁸) + (2.2 × 10⁸) は、べき指数が一致しているのでそのまま足せます。1.5 + 2.2 = 3.7、つまり合計は 3.7 × 10⁸。(1.5 × 10^8) + (2.2 × 10^8) と入力すると → 370,000,000。

科学的記数法と有効数字

仮数はすべての意味のある桁を担い、指数は小数点の位置を示すだけなので、この2つの概念は切り離せません。3.0 × 10⁸ は2桁の有効数字を主張し、3.00 × 10⁸ は数値としては同じでも3桁の有効数字を主張します。電卓の表示に 6.022e+23 のような結果が出たとき、指数は桁数を示し、仮数は精度の誠実さを保っています。科学的記数法電卓と有効数字ガイドは、どちらも仮数と指数を実際に扱う練習ができます。

SCIモードと電卓の表記の使い方

The Scientific Calculatorを含む科学電卓は、この形式で数を自動的に表示できます。SCIトグルを押すと答えの表示形式が変わります。123456789 と入力してSCIをオンにすると、表示は 1.23456789e+8 になり、e+8 は「× 10⁸」を表します。値そのものは変わらず、表示だけが変わります。キーパッドでこの記数法を入力するコツは、べき乗には ^ キーを使い(6.022 × 10^23)、10単独は 10^1、負の指数には符号キーか - が必要です(9.11 × 10^-31)。指数電卓は、実際に持っている指数がどれかを見極める間、その裏側のべき乗計算を行ってくれます。

よくある質問

なぜ科学的記数法は「e」を使って書かれることがあるのですか?

e は「指数(exponent)」を表します。1.23456789e+8 は 1.23456789 × 10⁸ を意味します。ディスプレイやプログラミング言語でこの表記が使われるのは、通常のテキストでは上付き文字を常に表現できるとは限らないからです。

科学的記数法と標準形の違いは何ですか?

同じ数を異なる形で表しているだけです。標準形はすべての桁をそのまま書き出し(87,000,000)、科学的記数法は仮数とべき乗に圧縮します(8.7 × 10⁷)。a × 10ⁿ のルールでは、a は1から10の間に収まります。

電卓で `6.022 × 10²³` のような数を入力するにはどうすればよいですか?

6.022 × 10^23 と入力して = を押します。結果は 6.022e+23 と表示されます。9.11 × 10⁻³¹ の場合は 9.11 × 10^-31 と入力します。

`2.5 × 10³` の有効数字は何桁ですか?

2桁です。2 と 5 です。小数点の位置を示すだけのゼロは仮数ではなく指数に属します。だからこそ 2.50 × 10³ という書き方が「3桁の有効数字」を表す方法として存在するのです。