Il logaritmo naturale, scritto ln, è un logaritmo in base e, e e vale circa 2,71828. ln(x) risponde alla domanda “a quale potenza bisogna elevare e per ottenere x?”, quindi ln(100) ≈ 4.60517018599 perché e^4.60517018599 fa 100. Si chiama naturale perché e compare spontaneamente ogni volta che qualcosa cresce o decade in proporzione alla propria grandezza.

Punti chiave

ln è log_e: chiede “a quale potenza va elevato e per ottenere x?”, con e ≈ 2,71828.

ln(1) = 0 e ln(e) = 1; ln(100) = 4.60517018599.

e^2 = 7.38905609893, e il ln di quel valore restituisce esattamente 2.

Il tempo di raddoppio a un tasso continuo r è ln(2) ÷ r ≈ 0.693 ÷ r.

Cosa significa ln

Ogni logaritmo nasconde una domanda su una potenza. log(100) = 2 perché 10² = 100. Il logaritmo naturale pone la stessa domanda usando e come base: ln(100) = 4.60517018599 perché e^4.60517018599 = 100. L’idea non cambia, cambia solo la base. L’articolo cos’è un logaritmo spiega il concetto generale, e la calcolatrice di logaritmo naturale fa il calcolo al posto tuo.

Il valore di e, 2,718281828459045, è irrazionale: le sue cifre non finiscono mai e non si ripetono. Non lo si scrive mai per intero. La calcolatrice ha un tasto e, e le sue potenze si scrivono come e^2, e^x, oppure si usa il pulsante exp.

I due punti di riferimento: ln(1) = 0 e ln(e) = 1

Due valori ricorrono così spesso da valere la pena di memorizzarli. Qualsiasi base elevata alla potenza 0 dà 1, quindi il logaritmo di 1 è 0 in ogni base, compresa e: ln(1) = 0. E e elevato alla potenza 1 è e stesso, quindi ln(e) = 1. Digita ln(1) e ln(e) sulla calcolatrice e otterrai esattamente 0 e 1.

Esempio svolto 1: ln(100). Sulla calcolatrice di logaritmo naturale o sulla calcolatrice principale, digita ln(100). La calcolatrice restituisce 4.60517018599. Puoi verificare con il tasto dell’esponente: e^4.60517018599 torna vicino a 100, perché un logaritmo è l’inverso dell’esponenziale.

Perché la base è e

e sembra un numero qualsiasi finché non lo si osserva comparire in un limite celebre. Parti da un’unità che cresce del 100% all’anno. Composta una volta sola, ottieni 2. Composta due volte l’anno: (1 + 1/2)² = 2.25. Ogni mese: (1 + 1/12)¹² = 2.61304. Ogni giorno: (1 + 1/365)³⁶⁵ = 2.71457. Spingi la composizione verso il suo limite, e il risultato è esattamente e ≈ 2,71828.

Quel limite conta perché segna la proprietà distintiva di e: la funzione e^x è la propria derivata, quindi il suo tasso di variazione in ogni punto è uguale al suo valore in quel punto. Nessun’altra base ha questa proprietà, e qualsiasi crescita esponenziale regolare può essere riscritta in termini di e. Questo rende ln un metro di misura universale per la crescita. La calcolatrice di logaritmo gestisce la versione in base 10 e permette di scegliere qualsiasi altra base quando serve.

Esempio svolto 2: e² e il suo logaritmo. Digita e^2. La calcolatrice restituisce 7.38905609893. Ora usa il tasto ln sullo stesso valore, oppure digita ln(7.38905609893). Il risultato torna a 2. Ripeti questo percorso avanti e indietro: è la definizione pratica di un logaritmo.

I logaritmi delle frazioni escono negativi

ln(1) = 0, ln(e) = 1, ln(e²) = 2, e i valori continuano a salire. Cosa succede sotto 1? I numeri tra 0 e 1 sono potenze di e con esponenti negativi, e i loro logaritmi sono negativi. ln(0.5) = −0.693147, perché e^(−0.693147) = 0.5. Un logaritmo negativo non è un errore: significa solo che l’input è una frazione minore di 1.

Le formule di decadimento si basano proprio su questo. Quando un campione decade fino a metà della sua dimensione, il moltiplicatore è 0,5, e ln(0.5) = −0.693147 è ciò di cui si prende il logaritmo nell’esponente.

Esempio svolto 3: input frazionari. Digita ln(0.5). Il risultato è −0.69314718056. Ora digita ln(2), che restituisce 0.69314718056. I due valori sono l’uno l’opposto dell’altro, perché 0.5 = 2⁻¹ e la regola delle potenze porta il −1 davanti al logaritmo.

Logaritmi naturali, crescita e decadimento

Qualsiasi cosa cresca in proporzione alla propria grandezza attuale segue A = A₀ × e^(rt), dove A₀ è la quantità iniziale, r è il tasso e t è il tempo. Prendendo il logaritmo di entrambi i membri si ottiene rt = ln(A ÷ A₀), ed è per questo che ln risponde direttamente alle domande sulla crescita. Il tempo di raddoppio è l’esempio più chiaro. Raddoppiare significa e^(rt) = 2, quindi rt = ln(2), e ln(2) ≈ 0.693.

Esempio svolto 4: tempo di raddoppio. Vuoi sapere quanto tempo impiega una popolazione a raddoppiare con un tasso di crescita continuo del 7%. Digita ln(2) / 0.07. La calcolatrice restituisce 9.90210257943, quindi circa 9,9 anni. È da qui che nasce la regola del 70: dividi 70 per il tasso percentuale per ottenere il tempo di raddoppio in anni, perché 0,693 espresso in percentuale si avvicina a 70.

ln contro log su questa calcolatrice

Questo sito segue la convenzione delle calcolatrici scientifiche: log è in base 10 e ln è in base e. Molti linguaggi di programmazione e molti articoli usano log per indicare il logaritmo naturale, quindi controlla sempre la convenzione prima di copiare un risultato. I due sono legati da un fattore costante: ln(x) = log(x) × 2.302585. Se hai un logaritmo in base 10 e ti serve la versione naturale, quella singola moltiplicazione lo converte, e la calcolatrice degli esponenti può verificare il passaggio inverso.

Usare i logaritmi naturali sulla calcolatrice

Premi il tasto ln e la calcolatrice inserisce automaticamente ln(. Digita il numero e chiudi la parentesi.
Per elevare e a una potenza, usa il tasto e con ^, ad esempio e^3.
Tieni l’intera espressione su una sola riga, usa le parentesi quando non sei sicuro, e l’ordine delle operazioni fa il resto.

Domande frequenti

Perché ln(1) è uguale a 0?

Perché qualsiasi base diversa da zero elevata alla potenza 0 è uguale a 1. Un logaritmo chiede “quale esponente produce questo numero?”, quindi il logaritmo di 1 è 0 in ogni base, non solo in base e.

Qual è la differenza tra ln e log?

La base. ln usa e ≈ 2,71828, mentre log su una calcolatrice scientifica usa 10. Sono proporzionali: ln(x) ≈ 2.302585 × log(x). Questa calcolatrice segue la convenzione della fisica, secondo cui log significa base 10.

Il logaritmo naturale può accettare un numero negativo?

No, non con i numeri reali. eⁿ è positivo per ogni n reale, quindi non esiste alcuna potenza reale di e che produca un valore negativo, e la calcolatrice segnala un risultato indefinito.

Come si digita e sulla calcolatrice?

Usa il tasto e per la costante e il tasto ^ per le potenze: e^2 dà 7.38905609893. Per il pulsante esponenziale, il tasto exp prende un numero e restituisce e elevato a quel numero.