اللوغاريتم الطبيعي، ويُكتب ln، هو لوغاريتم أساسه e، وقيمة e تقارب 2.71828. الدالة ln(x) تجيب عن السؤال “e مرفوعة لأي أس تعطي x؟”، لذا ln(100) ≈ 4.60517018599 لأن e^4.60517018599 تساوي 100. سُمّي طبيعيًا لأن e تظهر تلقائيًا كلما نما شيء أو تحلل بما يتناسب مع حجمه نفسه.
أهم النقاط
lnهوlog_e: يسأل “e مرفوعة لأي أس تعطي x؟”، حيث e ≈ 2.71828.ln(1) = 0وln(e) = 1؛ وln(100) = 4.60517018599.e^2 = 7.38905609893، ولوغاريتم هذه القيمة الطبيعي يعيدك بالضبط إلى 2.- وقت التضاعف عند معدل مستمر r هو
ln(2) ÷ r≈0.693 ÷ r.
ماذا يعني ln
كل لوغاريتم يخفي سؤالًا عن أس. log(100) = 2 لأن 10² = 100. اللوغاريتم الطبيعي يطرح السؤال نفسه مع e كأساس: ln(100) = 4.60517018599 لأن e^4.60517018599 = 100. لا شيء في الفكرة يتغير، فقط الأساس. منشور ما هو اللوغاريتم يغطي الفكرة العامة، وحاسبة اللوغاريتم الطبيعي تقوم بالحساب نيابةً عنك.
قيمة e، وهي 2.718281828459045، عدد غير نسبي، لذا فإن أرقامه لا تنتهي ولا تتكرر أبدًا. لن تكتبه كاملًا أبدًا. الآلة الحاسبة تحتوي على مفتاح e، وتكتب قواه كـ e^2 أو e^x، أو تستخدم زر exp.
نقطتا الارتكاز: ln(1) = 0 و ln(e) = 1
قيمتان تتكرران كثيرًا لدرجة أنهما تستحقان الحفظ. أي أساس مرفوع للأس 0 يعطي 1، لذا فإن لوغاريتم 1 يساوي 0 في كل أساس، بما في ذلك e: ln(1) = 0. وe مرفوعة للأس 1 هي e نفسها، لذا ln(e) = 1. اكتب ln(1) وln(e) على الآلة الحاسبة فتحصل بالضبط على 0 و1.
مثال محلول 1: ln(100). على حاسبة اللوغاريتم الطبيعي أو الآلة الحاسبة الرئيسية، اكتب ln(100). تعيد الآلة الحاسبة 4.60517018599. يمكنك التحقق بمفتاح الأس: e^4.60517018599 تعود قريبة من 100، لأن اللوغاريتم هو معكوس الدالة الأسية.
لماذا الأساس هو e
تبدو e كعدد عشوائي حتى تراها تظهر في نهاية غاية شهيرة. ابدأ بوحدة واحدة تنمو بمعدل 100% سنويًا. مركّبة مرة واحدة، تحصل على 2. مركّبة مرتين في السنة: (1 + 1/2)² = 2.25. شهريًا: (1 + 1/12)¹² = 2.61304. يوميًا: (1 + 1/365)³⁶⁵ = 2.71457. ادفع التركيب نحو نهايته، وتكون الإجابة بالضبط e ≈ 2.71828.
هذه النهاية مهمة لأنها تحدد الخاصية المميزة لـ e: الدالة e^x هي مشتقتها نفسها، فمعدل تغيّرها عند كل نقطة يساوي قيمتها هناك. لا يمتلك أي أساس آخر هذه الخاصية، وأي نمو أسي سلس يمكن إعادة كتابته بدلالة e. هذا ما يجعل ln مقياسًا عامًا للنمو. حاسبة اللوغاريتم تتعامل مع النسخة ذات الأساس 10 وتتيح لك اختيار أي أساس آخر عند الحاجة.
مثال محلول 2: e² ولوغاريتمها. اكتب e^2. تعيد الآلة الحاسبة 7.38905609893. الآن استخدم مفتاح ln على القيمة نفسها، أو اكتب ln(7.38905609893). تعود النتيجة إلى 2. جرّب هذه الرحلة ذهابًا وإيابًا؛ إنها التعريف العملي للوغاريتم.
لوغاريتمات الكسور تخرج سالبة
ln(1) = 0، ln(e) = 1، ln(e²) = 2، والقيم تستمر في الارتفاع. ماذا يحدث تحت 1؟ الأعداد بين 0 و1 هي قوى لـ e بأسس سالبة، ولوغاريتماتها سالبة. ln(0.5) = −0.693147، لأن e^(−0.693147) = 0.5. اللوغاريتم السالب ليس خطأً. إنه يعني فقط أن المُدخل كسر أقل من 1.
معادلات التحلل تعتمد على هذا. عندما تتحلل عينة إلى نصف حجمها، يكون المُضاعِف 0.5، وln(0.5) = −0.693147 هو ما تأخذ لوغاريتمه في الأس.
مثال محلول 3: مُدخلات كسرية. اكتب ln(0.5). النتيجة −0.69314718056. الآن اكتب ln(2)، التي تعيد 0.69314718056. القيمتان معكوستان لبعضهما، لأن 0.5 = 2⁻¹ وقاعدة القوة تُخرج الأس −1 أمام اللوغاريتم.
اللوغاريتمات الطبيعية والنمو والتحلل
أي شيء ينمو بما يتناسب مع حجمه الحالي يتبع A = A₀ × e^(rt)، حيث A₀ هي الكمية الابتدائية، وr هو المعدل، وt هو الزمن. خذ لوغاريتم الطرفين فتحصل على rt = ln(A ÷ A₀)، وهذا سبب إجابة ln عن أسئلة النمو مباشرةً. وقت التضاعف هو المثال الأوضح. التضاعف يعني e^(rt) = 2، لذا rt = ln(2)، وln(2) ≈ 0.693.
مثال محلول 4: وقت التضاعف. تريد معرفة كم يستغرق تعداد سكاني ليتضاعف عند معدل نمو مستمر 7%. اكتب ln(2) / 0.07. تعيد الآلة الحاسبة 9.90210257943، أي حوالي 9.9 سنة. هذا مصدر قاعدة السبعين: اقسم 70 على معدل النسبة المئوية للحصول على وقت التضاعف بالسنوات، لأن 0.693 معبرًا عنه كنسبة مئوية يقترب من 70.
ln مقابل log على هذه الآلة الحاسبة
يتبع هذا الموقع اصطلاح الآلة الحاسبة العلمية: log أساسه 10 وln أساسه e. كثير من لغات البرمجة والأبحاث تستخدم log للوغاريتم الطبيعي، لذا تحقق من الاصطلاح قبل نسخ إجابة. الاثنان مرتبطان بمعامل ثابت: ln(x) = log(x) × 2.302585. إذا كان لديك لوغاريتم بأساس 10 وتحتاج النسخة الطبيعية، فهذا الضرب الواحد يحوّله، وحاسبة الأس يمكنها التحقق من الرحلة ذهابًا وإيابًا.
استخدام اللوغاريتمات الطبيعية على الآلة الحاسبة
- اضغط مفتاح
lnفتُدرج الآلة الحاسبةln(تلقائيًا. اكتب الرقم وأغلق القوس. - لرفع e لأس ما، استخدم مفتاح
eمع^، مثلe^3. - أبقِ التعبير كاملًا في سطر واحد، وضع أقواسًا عند الشك، وترتيب العمليات يتكفّل بالباقي.
الأسئلة الشائعة
لماذا يساوي ln(1) صفرًا؟
لأن أي أساس غير صفري مرفوع للأس 0 يساوي 1. اللوغاريتم يسأل “أي أس ينتج هذا الرقم؟”، لذا لوغاريتم 1 يساوي 0 في كل أساس، وليس e فقط.
ما الفرق بين ln وlog؟
الأساس. ln يستخدم e ≈ 2.71828، وlog على الآلة الحاسبة العلمية يستخدم 10. وهما متناسبان: ln(x) ≈ 2.302585 × log(x). تتبع هذه الآلة الحاسبة اصطلاح الفيزياء الذي يعني فيه log الأساس 10.
هل يمكن للوغاريتم الطبيعي أن يأخذ عددًا سالبًا؟
لا، ليس بالأعداد الحقيقية. eⁿ موجب لكل n حقيقي، لذا لا توجد قوة حقيقية لـ e تنتج مُدخلًا سالبًا، وتُظهر الآلة الحاسبة نتيجة غير معرّفة.
كيف أكتب e على الآلة الحاسبة؟
استخدم مفتاح e للثابت ومفتاح ^ للقوى: e^2 تعطي 7.38905609893. أما زر الدالة الأسية، فمفتاح exp يأخذ رقمًا ويعيد e مرفوعة إليه.