प्राकृतिक लघुगणक, जिसे ln लिखा जाता है, बेस e वाला एक लघुगणक है, और e लगभग 2.71828 होता है। ln(x) इस सवाल का जवाब देता है “e को किस पावर तक उठाने से x मिलता है?”, इसलिए ln(100) ≈ 4.60517018599 है क्योंकि e^4.60517018599 का मान 100 है। इसे प्राकृतिक इसलिए कहते हैं क्योंकि जब भी कोई चीज़ अपने आकार के अनुपात में बढ़ती या घटती है तो e अपने आप सामने आ जाता है।
मुख्य बातें
lnअसल मेंlog_eहै: यह पूछता है “e को किस पावर तक उठाने से x मिलता है?”, जहाँ e ≈ 2.71828।ln(1) = 0औरln(e) = 1;ln(100) = 4.60517018599।e^2 = 7.38905609893, और उस मान काlnलेने पर ठीक 2 मिलता है।- निरंतर दर r पर दोगुना होने का समय है
ln(2) ÷ r≈0.693 ÷ r।
ln का अर्थ क्या है
हर लघुगणक के पीछे एक पावर वाला सवाल छिपा होता है। log(100) = 2 है क्योंकि 10² = 100। प्राकृतिक लघुगणक वही सवाल e को बेस मानकर पूछता है: ln(100) = 4.60517018599 क्योंकि e^4.60517018599 = 100। विचार में कुछ नहीं बदलता, सिर्फ बेस बदलता है। लघुगणक क्या है पोस्ट सामान्य विचार को कवर करती है, और नैचुरल लॉग कैलकुलेटर आपके लिए गणना कर देता है।
e का मान, 2.718281828459045, अपरिमेय है, इसलिए इसके अंक कभी खत्म नहीं होते और कभी दोहराते नहीं। आप पूरी संख्या कभी टाइप नहीं करते। कैलकुलेटर में एक e की होती है, और इसकी पावर आप e^2, e^x लिखकर या exp बटन का उपयोग करके व्यक्त करते हैं।
दो प्रमुख बिंदु: ln(1) = 0 और ln(e) = 1
दो मान इतनी बार सामने आते हैं कि उन्हें याद रखना फायदेमंद है। किसी भी बेस की पावर 0 का मान 1 होता है, इसलिए हर बेस में, e सहित, 1 का लॉग 0 होता है: ln(1) = 0। और e की पावर 1 खुद e होती है, इसलिए ln(e) = 1। कैलकुलेटर पर ln(1) और ln(e) टाइप करें और आपको ठीक 0 और 1 मिलेंगे।
वर्किंग उदाहरण 1: ln(100)। नैचुरल लॉग कैलकुलेटर या मुख्य कैलकुलेटर पर, ln(100) टाइप करें। कैलकुलेटर 4.60517018599 लौटाता है। आप इसे एक्सपोनेंट की से क्रॉस-चेक कर सकते हैं: e^4.60517018599 लगभग 100 के करीब आता है, क्योंकि लघुगणक एक्सपोनेंशियल का व्युत्क्रम है।
बेस e ही क्यों
जब तक आप e को एक प्रसिद्ध लिमिट में प्रकट होते नहीं देखते, तब तक यह एक बेतरतीब संख्या जैसा लगता है। एक इकाई से शुरू करें जो साल में 100% की दर से बढ़ रही है। एक बार कंपाउंड होने पर आपको 2 मिलता है। साल में दो बार कंपाउंड करें: (1 + 1/2)² = 2.25। महीने में एक बार: (1 + 1/12)¹² = 2.61304। रोज़: (1 + 1/365)³⁶⁵ = 2.71457। कंपाउंडिंग को उसकी लिमिट की ओर धकेलें, और जवाब ठीक e ≈ 2.71828 आता है।
वह लिमिट इसलिए मायने रखती है क्योंकि यह e के विशिष्ट गुण को दर्शाती है: फ़ंक्शन e^x अपना खुद का डेरिवेटिव है, इसलिए हर बिंदु पर इसके बदलाव की दर वहाँ के इसके मान के बराबर होती है। किसी और बेस में यह गुण नहीं होता, और किसी भी स्मूथ एक्सपोनेंशियल वृद्धि को e के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। इसी वजह से ln वृद्धि मापने का एक सामान्य पैमाना बन जाता है। लॉग कैलकुलेटर बेस-10 वाला संस्करण संभालता है और ज़रूरत पड़ने पर आपको कोई भी दूसरा बेस चुनने देता है।
वर्किंग उदाहरण 2: e² और उसका लॉग। e^2 टाइप करें। कैलकुलेटर 7.38905609893 लौटाता है। अब उसी मान पर ln की का उपयोग करें, या ln(7.38905609893) टाइप करें। परिणाम वापस 2 पर आ जाता है। इस राउंड ट्रिप को पूर्ववत करके फिर से करें; यही लघुगणक की व्यावहारिक परिभाषा है।
भिन्नों के लॉग ऋणात्मक निकलते हैं
ln(1) = 0, ln(e) = 1, ln(e²) = 2, और मान लगातार बढ़ते जाते हैं। 1 से नीचे क्या होता है? 0 और 1 के बीच की संख्याएँ ऋणात्मक एक्सपोनेंट वाली e की पावर होती हैं, और इनके लॉग ऋणात्मक होते हैं। ln(0.5) = −0.693147, क्योंकि e^(−0.693147) = 0.5। ऋणात्मक लॉग कोई त्रुटि नहीं है। इसका मतलब बस इतना है कि इनपुट 1 से छोटी एक भिन्न है।
क्षय के सूत्र इसी पर निर्भर करते हैं। जब कोई नमूना अपने आकार के आधे तक क्षय हो जाता है, तो गुणक 0.5 होता है, और ln(0.5) = −0.693147 वही है जिसका लॉग आप एक्सपोनेंट में लेंगे।
वर्किंग उदाहरण 3: भिन्न इनपुट। ln(0.5) टाइप करें। परिणाम −0.69314718056 है। अब ln(2) टाइप करें, जो 0.69314718056 लौटाता है। दोनों एक-दूसरे के ऋणात्मक हैं, क्योंकि 0.5 = 2⁻¹ है और पावर नियम −1 को लॉग के आगे बाहर निकाल देता है।
प्राकृतिक लॉग और वृद्धि व क्षय
जो भी चीज़ अपने वर्तमान आकार के अनुपात में बढ़ती है वह A = A₀ × e^(rt) का पालन करती है, जहाँ A₀ शुरुआती मात्रा है, r दर है, और t समय है। दोनों तरफ का लॉग लें और आपको rt = ln(A ÷ A₀) मिलता है, जिस वजह से ln वृद्धि से जुड़े सवालों का सीधा जवाब देता है। दोगुना होने का समय सबसे साफ़ उदाहरण है। दोगुना होने का मतलब है e^(rt) = 2, इसलिए rt = ln(2), और ln(2) ≈ 0.693।
वर्किंग उदाहरण 4: दोगुना होने का समय। आप जानना चाहते हैं कि निरंतर 7% वृद्धि दर पर किसी आबादी को दोगुना होने में कितना समय लगता है। ln(2) / 0.07 टाइप करें। कैलकुलेटर 9.90210257943 लौटाता है, यानी लगभग 9.9 साल। यही “रूल ऑफ़ 70” का स्रोत है: दोगुना होने का समय साल में पाने के लिए 70 को प्रतिशत दर से भाग दें, क्योंकि 0.693 को प्रतिशत में लिखने पर यह 70 के काफ़ी करीब बैठता है।
इस कैलकुलेटर पर ln बनाम log
यह साइट वैज्ञानिक कैलकुलेटर की परंपरा का पालन करती है: log बेस 10 है और ln बेस e है। कई प्रोग्रामिंग भाषाएँ और पेपर प्राकृतिक लॉग के लिए log का उपयोग करते हैं, इसलिए किसी जवाब को कॉपी करने से पहले परंपरा जाँच लें। दोनों एक स्थिर गुणक से जुड़े होते हैं: ln(x) = log(x) × 2.302585। यदि आपके पास बेस-10 लॉग है और आपको प्राकृतिक संस्करण चाहिए, तो वही एक गुणा इसे बदल देता है, और एक्सपोनेंट कैलकुलेटर इस राउंड ट्रिप को सत्यापित कर सकता है।
कैलकुलेटर पर प्राकृतिक लॉग का उपयोग
lnकी दबाएँ और कैलकुलेटर अपने आपln(डाल देता है। संख्या टाइप करें और ब्रैकेट बंद करें।- e को किसी पावर तक उठाने के लिए,
eकी के साथ^का उपयोग करें, जैसेe^3। - पूरे एक्सप्रेशन को एक ही लाइन पर रखें, अनिश्चित होने पर कोष्ठक लगाएँ, और बाकी काम ऑपरेशंस का क्रम कर देता है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
ln(1) शून्य के बराबर क्यों है?
क्योंकि किसी भी नॉनज़ीरो बेस की पावर 0 का मान 1 होता है। एक लघुगणक पूछता है “कौन सा एक्सपोनेंट इस संख्या को पैदा करता है?”, इसलिए हर बेस में, केवल e में नहीं, 1 का लॉग 0 होता है।
ln और log में क्या अंतर है?
बेस का। ln में बेस e ≈ 2.71828 है, और वैज्ञानिक कैलकुलेटर पर log में बेस 10 होता है। ये एक-दूसरे के अनुपात में हैं: ln(x) ≈ 2.302585 × log(x)। यह कैलकुलेटर उस भौतिकी की परंपरा का पालन करता है जहाँ log का मतलब बेस 10 है।
क्या प्राकृतिक लॉग किसी ऋणात्मक संख्या का हो सकता है?
नहीं, वास्तविक संख्याओं के साथ नहीं। हर वास्तविक n के लिए eⁿ धनात्मक होता है, इसलिए e की कोई ऐसी वास्तविक पावर नहीं है जो ऋणात्मक इनपुट देती हो, और कैलकुलेटर एक अपरिभाषित परिणाम बताता है।
कैलकुलेटर पर e कैसे टाइप करूँ?
स्थिरांक के लिए e की और पावर के लिए ^ की का उपयोग करें: e^2 देता है 7.38905609893। एक्सपोनेंशियल बटन के लिए, exp की एक संख्या लेती है और e को उस पावर तक उठाकर लौटाती है।