Der natürliche Logarithmus, geschrieben ln, ist ein Logarithmus mit der Basis e, und e ist etwa 2.71828. ln(x) beantwortet die Frage „e hoch welche Potenz ergibt x?“, also ist ln(100) ≈ 4.60517018599, weil e^4.60517018599 100 ergibt. Er heißt natürlich, weil e von selbst auftaucht, wenn etwas proportional zu seiner eigenen Größe wächst oder zerfällt.

Die wichtigsten Punkte

ln ist log_e: Es fragt „e hoch welche Potenz ergibt x?“, mit e ≈ 2.71828.

ln(1) = 0 und ln(e) = 1; ln(100) = 4.60517018599.

e^2 = 7.38905609893, und ln dieses Werts liefert exakt 2 zurück.

Die Verdopplungszeit bei kontinuierlichem Satz r ist ln(2) ÷ r ≈ 0.693 ÷ r.

Was ln bedeutet

Jeder Logarithmus versteckt eine Potenzfrage. log(100) = 2, weil 10² = 100. Der natürliche Logarithmus stellt dieselbe Frage mit e als Basis: ln(100) = 4.60517018599, weil e^4.60517018599 = 100. An der Idee ändert sich nichts, nur die Basis. Der Beitrag Was ist ein Logarithmus behandelt die allgemeine Idee, und der Rechner für natürliche Logarithmen erledigt die Arithmetik für dich.

Der Wert von e, 2.718281828459045, ist irrational, seine Ziffern enden also nie und wiederholen sich nie. Du tippst nie die ganze Zahl. Der Rechner hat eine e-Taste, und du schreibst seine Potenzen als e^2, e^x oder nutzt den exp-Knopf.

Die zwei Ankerpunkte: ln(1) = 0 und ln(e) = 1

Zwei Werte kommen so oft vor, dass es sich lohnt, sie auswendig zu kennen. Jede Basis hoch 0 ergibt 1, also ist der Logarithmus von 1 in jeder Basis 0, auch bei e: ln(1) = 0. Und e hoch 1 ist e selbst, also ln(e) = 1. Tippe ln(1) und ln(e) in den Rechner, und du erhältst exakt 0 und 1.

Durchgerechnetes Beispiel 1: ln(100). Im Rechner für natürliche Logarithmen oder im Hauptrechner tippe ln(100). Der Rechner liefert 4.60517018599. Du kannst mit der Exponententaste gegenprüfen: e^4.60517018599 kommt nahe 100 zurück, denn ein Logarithmus ist die Umkehrung der Exponentialfunktion.

Warum die Basis e ist

e sieht aus wie eine Zufallszahl, bis man es in einem berühmten Grenzwert auftauchen sieht. Beginne mit einer Einheit, die um 100% pro Jahr wächst. Einmal verzinst endest du bei 2. Zweimal pro Jahr verzinst: (1 + 1/2)² = 2.25. Monatlich: (1 + 1/12)¹² = 2.61304. Täglich: (1 + 1/365)³⁶⁵ = 2.71457. Treibe die Verzinsung an ihre Grenze, und die Antwort ist exakt e ≈ 2.71828.

Dieser Grenzwert zählt, weil er die unverwechselbare Eigenschaft von e markiert: Die Funktion e^x ist ihre eigene Ableitung, ihre Änderungsrate an jedem Punkt ist also gleich ihrem Wert dort. Keine andere Basis hat diese Eigenschaft, und jedes glatte exponentielle Wachstum lässt sich in Begriffen von e neu schreiben. Das macht ln zu einem allgemeinen Maßstab für Wachstum. Der Logarithmus-Rechner handhabt die Zehner-Version und lässt dich jede andere Basis wählen, wenn du eine brauchst.

Durchgerechnetes Beispiel 2: e² und sein Logarithmus. Tippe e^2. Der Rechner liefert 7.38905609893. Nutze nun die ln-Taste auf demselben Wert oder tippe ln(7.38905609893). Das Ergebnis fällt zurück auf 2. Mache diesen Rundweg hin und zurück; er ist die praktische Definition eines Logarithmus.

Logarithmen von Brüchen kommen negativ heraus

ln(1) = 0, ln(e) = 1, ln(e²) = 2, und die Werte klettern weiter. Was passiert unter 1? Zahlen zwischen 0 und 1 sind Potenzen von e mit negativen Exponenten, und ihre Logarithmen sind negativ. ln(0.5) = −0.693147, weil e^(−0.693147) = 0.5. Ein negativer Logarithmus ist kein Fehler. Er bedeutet nur, dass die Eingabe ein Bruch kleiner als 1 ist.

Zerfallsformeln verlassen sich darauf. Wenn eine Probe auf die halbe Größe zerfällt, ist der Multiplikator 0.5, und ln(0.5) = −0.693147 ist der Wert, dessen Logarithmus du im Exponenten nimmst.

Durchgerechnetes Beispiel 3: Bruch-Eingaben. Tippe ln(0.5). Das Ergebnis ist −0.69314718056. Tippe nun ln(2), was 0.69314718056 liefert. Die beiden sind Gegenteile voneinander, weil 0.5 = 2⁻¹ ist und die Potenzregel die −1 vor den Logarithmus zieht.

Natürliche Logarithmen sowie Wachstum und Zerfall

Alles, was proportional zu seiner aktuellen Größe wächst, folgt A = A₀ × e^(rt), wobei A₀ die Ausgangsmenge, r der Satz und t die Zeit ist. Nimm auf beiden Seiten den Logarithmus, und du erhältst rt = ln(A ÷ A₀), weshalb ln Wachstumsfragen direkt beantwortet. Die Verdopplungszeit ist das sauberste Beispiel. Verdoppeln bedeutet e^(rt) = 2, also rt = ln(2), und ln(2) ≈ 0.693.

Durchgerechnetes Beispiel 4: Verdopplungszeit. Du willst wissen, wie lange eine Bevölkerung braucht, um sich bei einer kontinuierlichen Wachstumsrate von 7% zu verdoppeln. Tippe ln(2) / 0.07. Der Rechner liefert 9.90210257943, also etwa 9.9 Jahre. Das ist die Quelle der 70er-Regel: Teile 70 durch den Prozentsatz, um die Verdopplungszeit in Jahren zu erhalten, denn 0.693 als Prozentsatz liegt nahe bei 70.

ln versus log auf diesem Rechner

Diese Seite folgt der Konvention wissenschaftlicher Taschenrechner: log ist Basis 10 und ln die Basis e. Viele Programmiersprachen und Fachartikel nutzen log für den natürlichen Logarithmus, prüfe die Konvention also, bevor du eine Antwort übernimmst. Die beiden hängen über einen konstanten Faktor zusammen: ln(x) = log(x) × 2.302585. Wenn du einen Zehnerlogarithmus hast und die natürliche Version brauchst, wandelt diese eine Multiplikation um, und der Exponenten-Rechner kann den Rundweg verifizieren.

Natürliche Logarithmen auf dem Rechner verwenden

Drücke die ln-Taste, und der Rechner fügt ln( automatisch ein. Tippe die Zahl und schließe die Klammer.
Um e zu potenzieren, nutze die e-Taste mit ^, zum Beispiel e^3.
Behalte den ganzen Ausdruck in einer Zeile, setze Klammern, wenn du unsicher bist, und die Reihenfolge der Operationen sortiert den Rest.

Häufig gestellte Fragen

Warum ist ln(1) gleich 0?

Weil jede von Null verschiedene Basis hoch 0 gleich 1 ist. Ein Logarithmus fragt „welcher Exponent erzeugt diese Zahl?“, also ist der Logarithmus von 1 in jeder Basis 0, nicht nur bei e.

Was ist der Unterschied zwischen ln und log?

Die Basis. ln nutzt e ≈ 2.71828, und log auf einem wissenschaftlichen Taschenrechner nutzt 10. Sie sind proportional: ln(x) ≈ 2.302585 × log(x). Dieser Rechner folgt der Physik-Konvention, in der log Basis 10 bedeutet.

Kann der natürliche Logarithmus eine negative Zahl annehmen?

Nein, nicht mit reellen Zahlen. eⁿ ist für jedes reelle n positiv, also gibt es keine reelle Potenz von e, die eine negative Eingabe erzeugt, und der Rechner meldet ein nicht definiertes Ergebnis.

Wie tippe ich e im Rechner ein?

Nutze die e-Taste für die Konstante und die ^-Taste für Potenzen: e^2 ergibt 7.38905609893. Als Exponential-Knopf nimmt die exp-Taste eine Zahl und liefert e hoch diese Zahl.