الكسر هو عدد مقسوم على عدد آخر: 3/4 تعني 3 ÷ 4، أي 0.75. الرقم العلوي، أو البسط، يُحصي الأجزاء، والرقم السفلي، أو المقام، يحدّد حجمها. تنحصر عمليات الحساب على الكسور في سؤالين: هل المقامات متساوية، وما هي العملية المطلوبة. الضرب يتم بشكل مباشر، والقسمة تقلب الكسر الثاني، أما الجمع أو الطرح فقط فيحتاجان إلى مقام مشترك.
أهم النقاط
3/4هو نفس العدد0.75: فالكسر ليس سوى عملية قسمة مكتوبة بشكل عمودي.- لجمع الكسور أو طرحها، استخدم مقامًا مشتركًا:
1/3 + 1/6 = 0.5.- الضرب يتم بشكل مباشر:
(2/3) × (3/4) = 0.5.- للقسمة، اضرب في مقلوب الكسر:
(1/2) ÷ (1/4) = 2.
ما هو الكسر؟
الكسر هو عملية قسمة مكتوبة على شكل رقمين فوق بعضهما بدلاً من إشارة القسمة. في 3/4، الرقم 3 هو البسط والرقم 4 هو المقام، ويُقرأ الرمز كاملاً على أنه “ثلاثة مقسومة على أربعة”. خط الكسر يقوم بنفس دور إشارة ÷. اكتب 3/4 في أي آلة حاسبة وستحصل على 0.75، وهي النسخة العشرية من العدد نفسه. تتعامل آلة حساب الكسور مع هذه العمليات مباشرة، وهذا المقال يشرح الطريقة اليدوية التي تقف خلفها.
البسط والمقام
البسط يُحصي عدد الأجزاء التي لديك. المقام يحدد عدد الأجزاء المتساوية التي يتكوّن منها الكل الواحد، وبذلك يضبط حجم كل جزء. في 3/4 لديك ثلاثة أجزاء وكل جزء هو ربع. في 1/2 لديك جزء واحد وكل جزء هو نصف. الدوران ليسا قابلين للتبادل: 3/4 و4/3 عددان مختلفان، لأن تبديل العدد بالحجم يغيّر الناتج تمامًا.
الكسور المتكافئة
يُقال إن كسرين متكافئان عندما يمثلان الكمية نفسها. 3/4 و6/8 و9/12 كلها تساوي 0.75. تبني كسرًا متكافئًا بضرب البسط والمقام في نفس العدد أو قسمتهما عليه، وهو ما يعيد تسمية الأجزاء دون تغيير النسبة. ضرب 3/4 في 2/2 يعطي 6/8، وكلاهما يساوي 0.75.
الخطوة العكسية، أي قسمة الرقمين إلى أصغر زوج ممكن، تُسمى التبسيط. 6/12 تصبح 1/2، وكلاهما يساوي 0.5. أهمية الكسور المتكافئة تكمن أساسًا في أنها تتيح لك إيجاد مقام مشترك، وهذا هو صلب موضوع القسم التالي.
جمع الكسور وطرحها
يحتاج الجمع والطرح إلى مقامات متساوية. عندما تكون متساوية بالفعل، اجمع البسطين واحتفظ بالمقام: 1/4 + 2/4 = 3/4، و3/4 = 0.75. عندما تختلف المقامات، عليك إعادة كتابة أحد الكسرين أو كليهما أولاً حتى يتطابقا.
إيجاد مقام مشترك
في 1/3 + 1/6، لاحظ أن 6 مضاعف للعدد 3. أعد كتابة 1/3 على شكل 2/6، ثم اجمع: 2/6 + 1/6 = 3/6 = 0.5. يمكن تنفيذ العملية كلها كتعبير حسابي واحد: 1/3+1/6 → = 0.5. عندما لا يقسم أي من المقامين الآخر، اضربهما معًا للحصول على مقام مشترك. في 1/2 + 1/3 يكون المقام المشترك هو 6، فيعطي 3/6 + 2/6 = 5/6، والتي تظهر على الشاشة كـ 0.833333333333.
ضرب الكسور وقسمتها
الضرب هو أبسط حالة. اضرب البسطين ثم اضرب المقامين: (2/3) × (3/4) = 6/12 = 0.5. اكتب (2/3)*(3/4) للتأكد. يمكنك التبسيط بدلاً من الانتهاء بستة أجزاء من اثني عشر، لكن الناتج العشري يبقى نفسه.
القسمة تستخدم المقلوب. لقسمة (1/2) ÷ (1/4)، اقلب الكسر الثاني ثم اضرب: (1/2) × (4/1) = 4/2 = 2. اكتب (1/2)/(1/4). الناتج منطقي: الربع يدخل في النصف مرتين بالضبط. عندما لا تنقسم الأرقام بهذا الشكل المرتب، فإن (3/4) ÷ (1/2) = (3/4) × (2/1) = 6/4 = 1.5، وتُعيد (3/4)/(1/2) الناتج 1.5.
الأعداد الكسرية والكسور غير الحقيقية
الكسر غير الحقيقي هو كسر بسطه أكبر من مقامه أو يساويه، مثل 5/4. أما العدد الكسري فيكتب الجزء الصحيح منفصلاً، مثل 1 1/4. يمثل الاثنان الكمية نفسها: 5/4 = 1.25، وواحد وربع يساوي 1.25.
لتحويل عدد كسري إلى كسر غير حقيقي، اضرب الجزء الصحيح في المقام ثم أضف البسط. 2 1/3 تصبح (2 × 3 + 1) ÷ 3 = 7/3، وكتابة 7/3 تعطي = 2.33333333333. وفي الاتجاه المعاكس، اقسم البسط على المقام واحتفظ بالباقي كجزء كسري.
من الكسر إلى العدد العشري إلى النسبة المئوية
يتحول الكسر إلى عدد عشري بإجراء عملية القسمة، والنسبة المئوية هي العدد العشري مضروبًا في 100. فـ 3/4 = 0.75 = 75%، و1/8 = 0.125 = 12.5%. اكتب 3/4*100 وستعرض الآلة الحاسبة 75، وهي خطوة النسبة المئوية بمفردها. يشرح دليل النسب المئوية عملية التحويل من العدد العشري إلى النسبة المئوية بالتفصيل، وتطبّق آلة حساب النسبة المئوية ذلك على مبالغ حقيقية. عندما تصبح الأرقام كبيرة جدًا أو صغيرة جدًا، غالبًا ما تظهر النتائج بصيغة الترقيم العلمي، الذي يستخدم نفس طريقة عدّ الأرقام التي تستخدمها النسب المئوية.
الأسئلة الشائعة
هل أحتاج إلى مقام مشترك لضرب الكسور أو قسمتها؟
لا. الجمع والطرح فقط هما اللذان يحتاجان إلى مقامات متساوية. الضرب يتم بشكل مباشر، والقسمة هي ضرب في الكسر المقلوب.
ما الفرق بين الكسر غير الحقيقي والعدد الكسري؟
يمكن لكليهما أن يمثلا نفس الكمية. 5/4 كسر غير حقيقي لأن بسطه أكبر من مقامه. 1 1/4 عدد كسري لأنه يُظهر الجزء الصحيح والجزء الكسري بشكل منفصل. والاثنان متساويان.
لماذا تعطي قسمة 1/2 على 1/4 الناتج 2؟
لأن السؤال هو كم عدد الأرباع التي تدخل في النصف، والجواب هو اثنان. قاعدة المقلوب هي ببساطة الطريقة الحسابية لحساب ذلك.
كيف أكتب الكسور على الآلة الحاسبة؟
استخدم مفتاح الشرطة المائلة. الكسر البسيط مثل 3/4 يعمل مباشرة، لكن ضع البسط أو المقام بين قوسين عندما يحتوي على أكثر من حد واحد، كما في (2/3)*(3/4). بدون الأقواس، يمكن أن يقسّم ترتيب العمليات الحسابية الكسر المركّب إلى خطوات لم تكن تقصدها.