भिन्न एक संख्या को दूसरी से भाग देने का तरीका है: 3/4 का मतलब है 3 ÷ 4, यानी 0.75। ऊपर की संख्या, अंश, हिस्सों की गिनती बताती है, और नीचे की संख्या, हर, उनके आकार का नाम बताती है। भिन्नों की गणित दो सवालों पर टिकी है: क्या हर आपस में बराबर हैं, और आप कौन सी क्रिया कर रहे हैं। गुणा सीधे आर-पार होता है, भाग में दूसरी भिन्न को उलटना पड़ता है, और सिर्फ जोड़ने या घटाने के लिए समान हर चाहिए।
मुख्य बातें
3/4,0.75के बराबर ही संख्या है: भिन्न बस तिरछा लिखा हुआ भाग है।- भिन्नों को जोड़ने या घटाने के लिए समान हर इस्तेमाल करें:
1/3 + 1/6 = 0.5।- गुणा सीधे आर-पार होता है:
(2/3) × (3/4) = 0.5।- भाग करने के लिए, व्युत्क्रम (reciprocal) से गुणा करें:
(1/2) ÷ (1/4) = 2।
भिन्न क्या है?
भिन्न एक भाग है जिसे भाग के चिह्न की जगह दो एक-के-ऊपर-एक लिखी संख्याओं के रूप में दिखाया जाता है। 3/4 में, 3 अंश है और 4 हर है, और पूरा चिह्न “तीन भाग चार” पढ़ा जाता है। भिन्न की रेखा वही काम करती है जो ÷ चिह्न करता है। किसी भी कैलकुलेटर पर 3/4 टाइप करें और आपको 0.75 मिलेगा, जो उसी संख्या का दशमलव रूप है। भिन्न कैलकुलेटर इन क्रियाओं को सीधे संभालता है, और यह पोस्ट उनके पीछे की हाथ से हल करने की विधि समझाती है।
अंश और हर
अंश बताता है कि आपके पास कितने हिस्से हैं। हर बताता है कि एक पूरे को बनाने के लिए कितने बराबर हिस्से चाहिए, जिससे हर हिस्से का आकार तय होता है। 3/4 में आपके पास तीन हिस्से हैं और हर हिस्सा एक चौथाई है। 1/2 में आपके पास एक हिस्सा है और वह आधा है। ये दोनों भूमिकाएं आपस में बदली नहीं जा सकतीं: 3/4 और 4/3 अलग-अलग संख्याएं हैं, क्योंकि गिनती और आकार को आपस में बदलने से जवाब पूरी तरह बदल जाता है।
समतुल्य भिन्न
दो भिन्न समतुल्य तब होती हैं जब वे एक ही मात्रा दर्शाती हैं। 3/4, 6/8, और 9/12 सभी 0.75 के बराबर हैं। समतुल्य भिन्न बनाने के लिए अंश और हर दोनों को एक ही संख्या से गुणा या भाग करें, जिससे अनुपात बदले बिना हिस्सों के नाम बदल जाते हैं। 3/4 को 2/2 से गुणा करने पर 6/8 मिलता है, और दोनों 0.75 के बराबर हैं।
उल्टी प्रक्रिया, यानी दोनों संख्याओं को सबसे छोटे कार्यशील जोड़े तक भाग करना, सरलीकरण (simplifying) कहलाती है। 6/12, 1/2 बन जाता है, और दोनों 0.5 के बराबर हैं। समतुल्य भिन्न मुख्य रूप से इसलिए महत्वपूर्ण हैं क्योंकि वे समान हर ढूंढने में मदद करती हैं, जो अगले भाग का पूरा काम है।
भिन्नों को जोड़ना और घटाना
जोड़ने और घटाने के लिए हर का आपस में मिलना जरूरी है। जब वे पहले से मिलते हैं, तो अंशों को जोड़ें और हर को वैसा ही रखें: 1/4 + 2/4 = 3/4, और 3/4 = 0.75। जब हर अलग-अलग हों, तो पहले एक या दोनों भिन्नों को इस तरह फिर से लिखें कि वे मेल खा जाएं।
समान हर ढूंढना
1/3 + 1/6 के लिए, ध्यान दें कि 6, 3 का गुणज है। 1/3 को 2/6 के रूप में फिर से लिखें, फिर जोड़ें: 2/6 + 1/6 = 3/6 = 0.5। यह पूरी प्रक्रिया एक ही कैलकुलेटर एक्सप्रेशन के रूप में काम करती है: 1/3+1/6 → = 0.5। जब कोई भी हर दूसरे को पूरी तरह विभाजित नहीं करता, तो समान हर पाने के लिए उन्हें आपस में गुणा करें। 1/2 + 1/3 के लिए समान हर 6 है, जिससे 3/6 + 2/6 = 5/6 मिलता है, जिसे डिस्प्ले 0.833333333333 दिखाता है।
भिन्नों को गुणा करना और भाग करना
गुणा सबसे आसान मामला है। दोनों अंशों को और दोनों हरों को गुणा करें: (2/3) × (3/4) = 6/12 = 0.5। पुष्टि करने के लिए (2/3)*(3/4) टाइप करें। आप छह-बटा-बारह पर रुकने के बजाय सरलीकरण कर सकते हैं, लेकिन दशमलव जवाब वही निकलता है।
भाग में व्युत्क्रम (reciprocal) का इस्तेमाल होता है। (1/2) ÷ (1/4) को हल करने के लिए, दूसरी भिन्न को उलटें और गुणा करें: (1/2) × (4/1) = 4/2 = 2। (1/2)/(1/4) टाइप करें। जवाब सही लगता है: एक चौथाई, एक आधे में बिल्कुल दो बार समाता है। जब संख्याएं इतनी सफाई से विभाजित नहीं होतीं, तो (3/4) ÷ (1/2) = (3/4) × (2/1) = 6/4 = 1.5, और (3/4)/(1/2) 1.5 लौटाता है।
मिश्रित संख्याएं और अनुचित भिन्न
अनुचित भिन्न (improper fraction) में अंश उसके हर के बराबर या उससे बड़ा होता है, जैसे 5/4। मिश्रित संख्या (mixed number) पूर्णांक भाग को अलग से लिखती है, जैसे 1 1/4। दोनों एक ही मात्रा दर्शाते हैं: 5/4 = 1.25, और सवा एक, 1.25 होता है।
मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न में बदलने के लिए, पूर्णांक भाग को हर से गुणा करें और अंश जोड़ें। 2 1/3, (2 × 3 + 1) ÷ 3 = 7/3 बन जाता है, और 7/3 टाइप करने पर → = 2.33333333333 मिलता है। उल्टी दिशा में जाने के लिए, अंश को हर से भाग दें और शेषफल को भिन्न भाग के रूप में रखें।
भिन्न से दशमलव से प्रतिशत तक
भिन्न को भाग करने से दशमलव मिलता है, और दशमलव को 100 से गुणा करने पर प्रतिशत मिलता है। इसलिए 3/4 = 0.75 = 75%, और 1/8 = 0.125 = 12.5%। 3/4*100 टाइप करें और कैलकुलेटर 75 दिखाता है, यानी सिर्फ प्रतिशत वाला चरण। प्रतिशत गाइड दशमलव से प्रतिशत में रूपांतरण को विस्तार से समझाता है, और प्रतिशत कैलकुलेटर इसे वास्तविक राशियों पर लागू करता है। जब संख्याएं बहुत बड़ी या बहुत छोटी हो जाती हैं, तो जवाब अक्सर वैज्ञानिक संकेतन में आते हैं, जो प्रतिशत जैसी ही अंक-गिनती के सिद्धांत पर काम करता है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या भिन्नों को गुणा या भाग करने के लिए समान हर चाहिए?
नहीं। सिर्फ जोड़ने और घटाने के लिए हर का मिलना जरूरी है। गुणा सीधे आर-पार होता है, और भाग, उलटी हुई भिन्न से गुणा करने के बराबर है।
अनुचित भिन्न और मिश्रित संख्या में क्या अंतर है?
दोनों एक ही मात्रा दर्शा सकते हैं। 5/4 अनुचित भिन्न है क्योंकि इसका अंश इसके हर से बड़ा है। 1 1/4 मिश्रित संख्या है क्योंकि यह पूर्णांक भाग और भिन्न भाग को अलग-अलग दिखाती है। दोनों बराबर हैं।
1/2 को 1/4 से भाग देने पर 2 क्यों मिलता है?
क्योंकि सवाल यह है कि आधे में कितने चौथाई समाते हैं, और जवाब है दो। व्युत्क्रम का नियम बस इसकी गणना करने का यांत्रिक तरीका है।
कैलकुलेटर पर भिन्न कैसे टाइप करें?
स्लैश कुंजी का इस्तेमाल करें। 3/4 जैसी सादी भिन्न ठीक चलती है, लेकिन जब अंश या हर में एक से ज्यादा पद हों, तो उसे कोष्ठक में रखें, जैसे (2/3)*(3/4) में। कोष्ठक के बिना, संक्रियाओं का क्रम एक जटिल भिन्न को उन चरणों में बांट सकता है जिनका आपका इरादा नहीं था।