Ein Bruch ist eine Zahl geteilt durch eine andere: 3/4 bedeutet 3 ÷ 4, also 0.75. Die obere Zahl, der Zähler, zählt die Teile, und die untere Zahl, der Nenner, gibt ihre Größe an. Rechnen mit Brüchen läuft auf zwei Fragen hinaus: Sind die Nenner gleich, und welche Operation führst du aus? Multiplizieren geht gerade durch, Dividieren dreht den zweiten Bruch herum, und nur Addieren oder Subtrahieren braucht einen gemeinsamen Nenner.

Die wichtigsten Punkte

3/4 ist dieselbe Zahl wie 0.75: Ein Bruch ist nur eine seitlich geschriebene Division.

Um Brüche zu addieren oder zu subtrahieren, nimm einen gemeinsamen Nenner: 1/3 + 1/6 = 0.5.

Multiplikation geht gerade durch: (2/3) × (3/4) = 0.5.

Zum Dividieren multipliziere mit dem Kehrwert: (1/2) ÷ (1/4) = 2.

Was ist ein Bruch?

Ein Bruch ist eine Division, geschrieben als zwei gestapelte Zahlen statt mit einem Divisionszeichen. In 3/4 ist die 3 der Zähler und die 4 der Nenner, und das ganze Symbol liest sich als „drei geteilt durch vier“. Der Bruchstrich übernimmt die Arbeit des ÷-Zeichens. Tippe 3/4 in einen beliebigen Rechner, und du erhältst 0.75, die Dezimalversion derselben Zahl. Der Bruchrechner behandelt diese Operationen direkt, und dieser Beitrag erklärt die Handmethode dahinter.

Zähler und Nenner

Der Zähler zählt, wie viele Teile du hast. Der Nenner sagt, wie viele gleiche Teile ein Ganzes ausmachen, und legt damit die Größe jedes Teils fest. In 3/4 hast du drei Teile und jedes Teil ist ein Viertel. In 1/2 hast du ein Teil und jedes Teil ist eine Hälfte. Die zwei Rollen sind nicht austauschbar: 3/4 und 4/3 sind verschiedene Zahlen, denn das Vertauschen von Anzahl und Größe ändert die Antwort vollständig.

Äquivalente Brüche

Zwei Brüche sind äquivalent, wenn sie dieselbe Menge bezeichnen. 3/4, 6/8 und 9/12 ergeben alle 0.75. Du baust einen äquivalenten Bruch, indem du Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizierst oder dividierst, was die Teile umbenennt, ohne das Verhältnis zu ändern. 3/4 mit 2/2 multipliziert ergibt 6/8, und beide sind 0.75.

Der umgekehrte Schritt, beide Zahlen bis zum kleinsten brauchbaren Paar zu teilen, heißt Kürzen. 6/12 wird 1/2, und beide ergeben 0.5. Äquivalente Brüche zählen vor allem deshalb, weil sie dir erlauben, einen gemeinsamen Nenner zu finden, die ganze Aufgabe des nächsten Abschnitts.

Brüche addieren und subtrahieren

Addition und Subtraktion brauchen passende Nenner. Wenn sie bereits passen, addiere die Zähler und behalte den Nenner: 1/4 + 2/4 = 3/4, und 3/4 = 0.75. Wenn sich die Nenner unterscheiden, schreibst du vorher einen oder beide Brüche neu, damit sie übereinstimmen.

Einen gemeinsamen Nenner finden

Betrachte 1/3 + 1/6: Stelle fest, dass 6 ein Vielfaches von 3 ist. Schreibe 1/3 als 2/6 um, dann addiere: 2/6 + 1/6 = 3/6 = 0.5. Das Ganze funktioniert als ein Rechnerausdruck: 1/3+1/6 → = 0.5. Wenn keiner der Nenner den anderen teilt, multipliziere sie zu einem gemeinsamen Nenner. Für 1/2 + 1/3 ist der gemeinsame Nenner 6, was 3/6 + 2/6 = 5/6 ergibt, und das Display zeigt 0.833333333333.

Brüche multiplizieren und dividieren

Multiplikation ist der einfachste Fall. Multipliziere die zwei Zähler und die zwei Nenner: (2/3) × (3/4) = 6/12 = 0.5. Tippe (2/3)*(3/4) zur Bestätigung. Du kannst statt auf sechs Zwölftel auch kürzen, aber die Dezimalantwort fällt dieselbe aus.

Division nutzt den Kehrwert. Um (1/2) ÷ (1/4) zu teilen, drehe den zweiten Bruch um und multipliziere: (1/2) × (4/1) = 4/2 = 2. Tippe (1/2)/(1/4). Die Antwort ergibt Sinn: Ein Viertel passt genau zweimal in eine Hälfte. Wenn die Zahlen nicht so glatt teilen, ergibt (3/4) ÷ (1/2) = (3/4) × (2/1) = 6/4 = 1.5, und (3/4)/(1/2) liefert 1.5.

Gemischte Zahlen und unechte Brüche

Ein unechter Bruch hat einen Zähler, der mindestens so groß ist wie sein Nenner, wie 5/4. Eine gemischte Zahl schreibt den ganzen Teil separat, wie 1 1/4. Die zwei bezeichnen dieselbe Menge: 5/4 = 1.25, und eine und ein Viertel ist 1.25.

Um eine gemischte Zahl in einen unechten Bruch umzuwandeln, multipliziere den ganzen Teil mit dem Nenner und addiere den Zähler. 2 1/3 wird (2 × 3 + 1) ÷ 3 = 7/3, und 7/3 → = 2.33333333333. In der anderen Richtung dividierst du den Zähler durch den Nenner und behältst den Rest als Bruchteil.

Von Bruch zu Dezimal zu Prozent

Ein Bruch wird zu einer Dezimalzahl durch die Division, und ein Prozent ist die Dezimalzahl mal 100. Also ist 3/4 = 0.75 = 75%, und 1/8 = 0.125 = 12.5%. Tippe 3/4*100, und der Rechner meldet 75, den Prozenz-Schritt für sich. Der Prozent-Leitfaden behandelt die Umwandlung von Dezimal zu Prozent im Detail, und der Prozentrechner wendet sie auf reale Beträge an. Wenn Zahlen sehr groß oder sehr klein werden, landen Ergebnisse üblich in der wissenschaftlichen Schreibweise, die dasselbe Ziffernzählen wie Prozente nutzt.

Häufig gestellte Fragen

Brauche ich zum Multiplizieren oder Dividieren von Brüchen einen gemeinsamen Nenner?

Nein. Nur Addition und Subtraktion brauchen passende Nenner. Multiplikation geht gerade durch, und Division ist die Multiplikation mit dem umgedrehten Bruch.

Was ist der Unterschied zwischen einem unechten Bruch und einer gemischten Zahl?

Beide können dieselbe Menge bezeichnen. 5/4 ist unecht, weil sein Zähler größer als sein Nenner ist. 1 1/4 ist gemischt, weil es den ganzen Teil und den Bruchteil getrennt zeigt. Die beiden sind gleich.

Warum ergibt das Teilen von `1/2` durch `1/4` 2?

Weil die Frage lautet, wie viele Viertel in eine Hälfte passen, und die Antwort zwei ist. Die Kehrwert-Regel ist nur der mechanische Weg, das zu berechnen.

Wie tippe ich Brüche im Rechner ein?

Nutze die Slash-Taste. Ein nackter Bruch wie 3/4 ist in Ordnung, aber setze Zähler oder Nenner in Klammern, wenn sie mehr als einen Term haben, wie in (2/3)*(3/4). Ohne die Klammern kann die Reihenfolge der Operationen einen zusammengesetzten Bruch in Schritte zerlegen, die du nicht beabsichtigt hast.