Die Fakultät von n, geschrieben n!, ist das Produkt jeder ganzen Zahl von n herunter bis 1. Also ist 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Eine widerspruchsfreie Definition setzt 0! = 1, und Fakultäten wachsen so schnell, dass sie einen Großteil des Zählens und der Wahrscheinlichkeit verankern.

Die wichtigsten Punkte

5! = 120, 10! = 3,628,800 und 20! = 2,432,902,008,176,640,000.

0! = 1: Die Rekursion n! = n × (n − 1)! erzwingt es.

Fakultäten klettern schnell: 6! = 720, 7! = 5,040 und 8! = 40,320.

Tippe im Rechner 5! und drücke Enter → = 120.

Was eine Fakultät ist

Die Fakultät zählt herunter. Für eine ganze Zahl n ergibt das Multiplizieren jeder ganzen Zahl von n herunter bis 1 n!, gelesen als „n Fakultät“.

Durchgerechnetes Beispiel 1: kleine Fakultäten berechnen. 3! = 3 × 2 × 1 = 6. 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Im Rechner ergibt 4! → = 24 und 5! → = 120. Du kannst das Ausrufezeichen selbst tippen oder die n!-Taste verwenden; beide fügen dasselbe ein.

Fakultäten bauen aufeinander auf

Jede Fakultät enthält die vorherige. Da 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 und 4! = 4 × 3 × 2 × 1 ist, lautet die Beziehung 5! = 5 × 4!. Allgemein gilt n! = n × (n − 1)!. Diese eine Regel steckt hinter jeder folgenden Eigenschaft, einschließlich des Werts von 0!.

Durchgerechnetes Beispiel 2: die Rekursion in Aktion. 10! = 10 × 9!. Gegeben 9! = 362,880 erhältst du 10! = 10 × 362,880 = 3,628,800. Im Rechner ergibt 9! → = 362,880 und 10! → = 3,628,800.

Warum 0! gleich 1 ist

Die Rekursion entscheidet es. Bei n = 1 sagt die Regel 1! = 1 × 0!, und da 1! = 1 ist, folgt daraus, dass 0! gleich 1 sein muss. Eine kombinatorische Sicht stimmt zu: Es gibt genau eine Art, null Objekte anzuordnen, nämlich nichts zu tun. Beide Argumente landen auf demselben Wert, und 0! = 1 zu halten, lässt die Formel n! = n × (n − 1)! bei jedem Schritt ohne Ausnahme gelten.

Eine Tabelle der Fakultäten

Die ersten zehn Fakultäten, jede auf dem Rechner reproduzierbar:

0! = 1, 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120.
6! = 720, 7! = 5,040, 8! = 40,320, 9! = 362,880, 10! = 3,628,800.

Jede Zeile lässt sich im Rechner prüfen: 7! → = 5,040 und 13! → = 6,227,020,800. Hinter der Tabelle verlassen die Zahlen die Alltagsvorstellung. 13! hat schon zehn Ziffern überschritten, und 20! = 2,432,902,008,176,640,000, was die größte 64-Bit-Ganzzahl übersteigt. So große Ergebnisse erscheinen in wissenschaftlicher Schreibweise, und der Rechner für wissenschaftliche Schreibweise entwickelt die kompakte Form zurück zu einer vollständigen Ziffernfolge.

Wo Fakultäten auftauchen

Fakultäten zählen Anordnungen, und Anordnungen tauchen quer durch die Wahrscheinlichkeit auf. Die Anzahl der Arten, 5 Bücher in einer Reihe aufzustellen, ist 5! = 120. Teilmengen auszuwählen und zu ordnen, nutzt Permutationen, etwa permutations(5,3) → = 60, und Teilmengen ohne Ordnung zu wählen, nutzt Kombinationen, etwa combinations(52,5) → = 2,598,960 mögliche Fünf-Karten-Pokerhände. Beide Formeln teilen durch Fakultäten, um die Anordnungen herauszurechnen, die sie nicht wollen, genau das, was die Einführung in Permutationen und Kombinationen durcharbeitet. Der Fakultäten-Rechner trägt n!, nPr und nCr zusammen für diese Art von Aufgabe.

Durchgerechnetes Beispiel 3: ein volles Deck. Alle 52 Karten zu ordnen, ist 52 × 51 × 50 × … × 1, die ausgeschriebene Definition von 52!. Tippe 52!, und der Rechner liefert etwa 8.0658e+67, schon in wissenschaftlicher Schreibweise. Das Produkt ist real und die Definition unverändert; nur das Display wurde gekürzt.

Fakultäten jenseits ganzer Zahlen

Die Gammafunktion dehnt die Fakultätsidee auf Zahlen aus, die nicht ganz sind. Für ganzes n lautet die Verbindung Γ(n) = (n − 1)!, so dass die Funktion die Lücken zwischen den Fakultätswerten glatt auffüllt. Sie taucht in Statistik und Physik auf, aber für das Zählen bedeutet n! genau, was die Definition sagt, und keine Erweiterung ist nötig.

Häufig gestellte Fragen

Warum ist 0! gleich 1?

Weil die Regel n! = n × (n − 1)! bei n = 1 nur funktioniert, wenn 0! = 1 ist. Es ist eine Definition, die so gewählt ist, dass das Muster nie bricht.

Wie tippe ich eine Fakultät im Rechner ein?

Tippe die Zahl, dann ein Ausrufezeichen, und drücke dann Enter: 5! → = 120. Die n!-Taste fügt dasselbe Zeichen ein.

Kann ich eine Fakultät eines Bruchs oder einer negativen Zahl bilden?

Nicht mit der einfachen n!-Operation, die für ganze Zahlen ab 0 definiert ist. Eine Dezimal- oder Negativeingabe liefert einen Fehler. Die Gammafunktion bietet die erweiterte Version für Mathematik, die sie braucht.

Warum werden Fakultäten so schnell so groß?

Jeder Schritt multipliziert mit der nächsten ganzen Zahl, also nimmt das Wachstum zu. Nach 10! = 3,628,800 erreichen zehn weitere Schritte 20! = 2,432,902,008,176,640,000, weshalb das Display schließlich auf wissenschaftliche Schreibweise wechselt.