Il fattoriale di n, scritto n!, è il prodotto di tutti i numeri interi da n fino a 1. Quindi 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Una definizione coerente stabilisce che 0! = 1, e i fattoriali crescono così rapidamente da essere alla base della maggior parte del calcolo combinatorio e della probabilità.

Punti chiave

5! = 120, 10! = 3,628,800 e 20! = 2,432,902,008,176,640,000.

0! = 1: la ricorsione n! = n × (n − 1)! lo impone.

I fattoriali crescono in fretta: 6! = 720, 7! = 5,040 e 8! = 40,320.

Sulla calcolatrice, digita 5! e premi Invio → = 120.

Cos’è un fattoriale

Il fattoriale conta a ritroso. Per un numero intero n, moltiplicare ogni intero da n fino a 1 dà n!, che si legge “n fattoriale”.

Esempio svolto 1: calcolare piccoli fattoriali. 3! = 3 × 2 × 1 = 6. 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Sulla calcolatrice, 4! → = 24 e 5! → = 120. Puoi digitare direttamente il punto esclamativo oppure usare il tasto n!: inseriscono entrambi lo stesso simbolo.

I fattoriali si costruiscono uno sull’altro

Ogni fattoriale contiene quello precedente. Poiché 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 e 4! = 4 × 3 × 2 × 1, la relazione si scrive 5! = 5 × 4!. In generale, n! = n × (n − 1)!. Questa unica regola sta alla base di tutte le proprietà che seguono, incluso il valore di 0!.

Esempio svolto 2: la ricorsione in azione. 10! = 10 × 9!. Dato che 9! = 362,880, si ottiene 10! = 10 × 362,880 = 3,628,800. Sulla calcolatrice, 9! → = 362,880 e 10! → = 3,628,800.

Perché 0! è uguale a 1

Lo decide la ricorsione. Per n = 1 la regola dice 1! = 1 × 0!, e poiché 1! = 1, ne segue che 0! deve essere uguale a 1. Anche un’interpretazione combinatoria conferma questo risultato: c’è esattamente un modo di disporre zero oggetti, ossia non fare nulla. Entrambi i ragionamenti portano allo stesso valore, e mantenere 0! = 1 permette alla formula n! = n × (n − 1)! di valere a ogni passaggio, senza eccezioni.

Una tabella dei fattoriali

I primi dieci fattoriali, ognuno riproducibile sulla calcolatrice:

0! = 1, 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120.
6! = 720, 7! = 5,040, 8! = 40,320, 9! = 362,880, 10! = 3,628,800.

Ogni riga si può verificare sulla calcolatrice: 7! → = 5,040 e 13! → = 6,227,020,800. Superata la tabella, i numeri escono dall’intuizione quotidiana. 13! ha già superato le dieci cifre, e 20! = 2,432,902,008,176,640,000, un valore che supera il più grande intero a 64 bit. I risultati così grandi vengono mostrati in notazione scientifica, e la calcolatrice di notazione scientifica espande la forma compatta riportandola a una stringa di cifre completa.

Dove compaiono i fattoriali

I fattoriali contano le disposizioni, e le disposizioni ricorrono ovunque in probabilità. Il numero di modi in cui si possono allineare 5 libri in fila è 5! = 120. Selezionare e ordinare sottoinsiemi usa le permutazioni, come permutations(5,3) → = 60, mentre scegliere sottoinsiemi senza ordinarli usa le combinazioni, come combinations(52,5) → = 2,598,960 possibili mani di poker da cinque carte. Entrambe le formule dividono per dei fattoriali per eliminare le disposizioni che non interessano, ed è esattamente ciò che approfondisce la guida introduttiva a permutazioni e combinazioni. La calcolatrice dei fattoriali riunisce n!, nPr e nCr per questo tipo di calcoli.

Esempio svolto 3: un mazzo completo. Ordinare tutte le 52 carte equivale a 52 × 51 × 50 × … × 1, che è proprio la definizione di 52! scritta per esteso. Digita 52! e la calcolatrice restituisce circa 8.0658e+67, già in notazione scientifica. Il prodotto è reale e la definizione resta invariata: è solo la visualizzazione a essere stata abbreviata.

I fattoriali oltre i numeri interi

La funzione gamma estende il concetto di fattoriale a numeri che non sono interi. Per n intero la relazione è Γ(n) = (n − 1)!, quindi la funzione riempie con continuità gli spazi tra i valori fattoriali. Compare in statistica e in fisica, ma per il calcolo combinatorio, n! significa esattamente ciò che dice la definizione, e non serve alcuna estensione.

Domande frequenti

Perché 0! è uguale a 1?

Perché la regola n! = n × (n − 1)! funziona per n = 1 solo se 0! = 1. È una definizione scelta apposta perché lo schema non si rompa mai.

Come si digita un fattoriale sulla calcolatrice?

Digita il numero, poi un punto esclamativo, poi premi Invio: 5! → = 120. Il tasto n! inserisce lo stesso simbolo.

Posso calcolare il fattoriale di una frazione o di un numero negativo?

Non con la semplice operazione n!, che è definita solo per numeri interi a partire da 0. Un valore decimale o negativo restituisce un errore. La funzione gamma fornisce la versione estesa per chi ha bisogno di quel tipo di calcolo.

Perché i fattoriali crescono così in fretta?

Ogni passaggio moltiplica per il numero intero successivo, quindi la crescita si accumula. Dopo 10! = 3,628,800, altri dieci passaggi portano a 20! = 2,432,902,008,176,640,000, ed è per questo che la visualizzazione a un certo punto passa alla notazione scientifica.