El factorial de n, escrito n!, es el producto de cada número entero desde n hasta 1. Así que 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Una definición coherente fija 0! = 1, y los factoriales crecen tan deprisa que anclan la mayor parte del recuento y la probabilidad.

Ideas clave

5! = 120, 10! = 3,628,800 y 20! = 2,432,902,008,176,640,000.

0! = 1: la recursión n! = n × (n − 1)! lo fuerza.

Los factoriales suben rápido: 6! = 720, 7! = 5,040 y 8! = 40,320.

En la calculadora, escribe 5! y pulsa Enter → = 120.

Qué es un factorial

El factorial cuenta hacia abajo. Para un número entero n, multiplicar cada entero desde n hasta 1 da n!, que se lee como “en factorial”.

Ejemplo resuelto 1: calcular factoriales pequeños. 3! = 3 × 2 × 1 = 6. 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. En la calculadora, 4! → = 24 y 5! → = 120. Puedes escribir el signo de exclamación tú mismo o usar la tecla n!; ambos insertan lo mismo.

Los factoriales se construyen unos sobre otros

Cada factorial contiene el anterior. Como 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 y 4! = 4 × 3 × 2 × 1, la relación dice 5! = 5 × 4!. En general, n! = n × (n − 1)!. Esta única regla está detrás de cada propiedad que sigue, incluido el valor de 0!.

Ejemplo resuelto 2: la recursión en acción. 10! = 10 × 9!. Dado 9! = 362,880, obtienes 10! = 10 × 362,880 = 3,628,800. En la calculadora, 9! → = 362,880 y 10! → = 3,628,800.

Por qué 0! es igual a 1

La recursión lo decide. En n = 1 la regla dice 1! = 1 × 0!, y como 1! = 1, se deduce que 0! debe ser 1. Una visión combinatoria está de acuerdo: hay exactamente una manera de ordenar cero objetos, no haciendo nada. Ambos argumentos aterrizan en el mismo valor, y mantener 0! = 1 deja que la fórmula n! = n × (n − 1)! se cumpla en cada paso sin excepción.

Una tabla de factoriales

Los primeros diez factoriales, cada uno reproducible en la calculadora:

0! = 1, 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120.
6! = 720, 7! = 5,040, 8! = 40,320, 9! = 362,880, 10! = 3,628,800.

Cada fila se comprueba en la calculadora: 7! → = 5,040 y 13! → = 6,227,020,800. Pasada la tabla, los números dejan atrás la intuición cotidiana. 13! ya ha superado las diez cifras, y 20! = 2,432,902,008,176,640,000, que excede el mayor entero de 64 bits. Los resultados tan grandes se muestran en notación científica, y la calculadora de notación científica expande la forma compacta de vuelta a una cadena completa de dígitos.

Dónde aparecen los factoriales

Los factoriales cuentan ordenaciones, y las ordenaciones aparecen por toda la probabilidad. El número de maneras de alinear 5 libros en una fila es 5! = 120. Seleccionar y ordenar subconjuntos usa permutaciones, como permutations(5,3) → = 60, y elegir subconjuntos sin orden usa combinaciones, como combinations(52,5) → = 2,598,960 manos de póker posibles de cinco cartas. Ambas fórmulas dividen entre factoriales para quitar las ordenaciones que no quieren, que es exactamente lo que la introducción a permutaciones y combinaciones recorre paso a paso. La calculadora de factoriales reúne n!, nPr y nCr para ese tipo de trabajo.

Ejemplo resuelto 3: una baraja completa. Ordenar las 52 cartas es 52 × 51 × 50 × … × 1, que es la definición de 52! escrita por completo. Escribe 52! y la calculadora devuelve unos 8.0658e+67, ya en notación científica. El producto es real y la definición no cambia; solo se ha acortado la pantalla.

Factoriales más allá de los números enteros

La función gamma extiende la idea del factorial a números que no son enteros. Para un n entero la conexión dice Γ(n) = (n − 1)!, así que la función rellena suavemente los huecos entre los valores factoriales. Aparece en estadística y física, pero para el recuento, n! significa exactamente lo que dice la definición, y no se necesita ninguna extensión.

Preguntas frecuentes

¿Por qué 0! es igual a 1?

Porque la regla n! = n × (n − 1)! funciona en n = 1 solo si 0! = 1. Es una definición elegida para que el patrón nunca se rompa.

¿Cómo escribo un factorial en la calculadora?

Escribe el número, luego un signo de exclamación y luego pulsa Enter: 5! → = 120. La tecla n! inserta el mismo signo.

¿Puedo calcular el factorial de una fracción o un número negativo?

No con la operación simple n!, que está definida para números enteros desde 0 en adelante. Una entrada decimal o negativa devuelve un error. La función gamma ofrece la versión extendida para las matemáticas que la necesitan.

¿Por qué los factoriales crecen tan rápido?

Cada paso multiplica por el siguiente número entero, así que el crecimiento se compone. Después de 10! = 3,628,800, diez pasos más llegan a 20! = 2,432,902,008,176,640,000, por eso la pantalla acaba cambiando a notación científica.