O fatorial de n, escrito n!, é o produto de todos os números inteiros de n até 1. Assim, 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Uma definição coerente estabelece 0! = 1, e os fatoriais crescem tão depressa que servem de base à maior parte da contagem e da probabilidade.

Principais conclusões

5! = 120, 10! = 3.628.800, e 20! = 2.432.902.008.176.640.000.

0! = 1: a recursão n! = n × (n − 1)! obriga a isso.

Os fatoriais crescem depressa: 6! = 720, 7! = 5.040, e 8! = 40.320.

Na calculadora, digite 5! e prima Enter → = 120.

O que é um fatorial

O fatorial faz uma contagem decrescente. Para um número inteiro n, multiplicar todos os inteiros de n até 1 dá n!, lido como “n fatorial”.

Exemplo resolvido 1: calcular fatoriais pequenos. 3! = 3 × 2 × 1 = 6. 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Na calculadora, 4! → = 24 e 5! → = 120. Pode digitar o próprio ponto de exclamação ou usar a tecla n!; ambos inserem o mesmo símbolo.

Os fatoriais constroem-se uns sobre os outros

Cada fatorial contém o anterior. Uma vez que 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 e 4! = 4 × 3 × 2 × 1, a relação lê-se 5! = 5 × 4!. De forma geral, n! = n × (n − 1)!. Esta única regra está por trás de todas as propriedades seguintes, incluindo o valor de 0!.

Exemplo resolvido 2: a recursão em ação. 10! = 10 × 9!. Dado que 9! = 362.880, obtém-se 10! = 10 × 362.880 = 3.628.800. Na calculadora, 9! → = 362.880 e 10! → = 3.628.800.

Por que 0! é igual a 1

A recursão decide isso. Para n = 1, a regra diz que 1! = 1 × 0!, e uma vez que 1! = 1, conclui-se que 0! tem de ser igual a 1. Uma leitura combinatória confirma esta conclusão: existe exatamente uma forma de organizar zero objetos, que é não fazer nada. Os dois argumentos chegam ao mesmo valor, e manter 0! = 1 permite que a fórmula n! = n × (n − 1)! se mantenha válida em todos os passos, sem exceção.

Uma tabela de fatoriais

Os primeiros dez fatoriais, todos reprodutíveis na calculadora:

0! = 1, 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120.
6! = 720, 7! = 5.040, 8! = 40.320, 9! = 362.880, 10! = 3.628.800.

Cada linha confirma-se na calculadora: 7! → = 5.040 e 13! → = 6.227.020.800. A partir daqui, os números deixam de fazer sentido intuitivo. 13! já ultrapassa dez algarismos, e 20! = 2.432.902.008.176.640.000, que excede o maior inteiro de 64 bits. Resultados tão grandes aparecem em notação científica, e a calculadora de notação científica expande a forma compacta de volta numa sequência completa de dígitos.

Onde os fatoriais aparecem

Os fatoriais contam disposições, e as disposições aparecem por toda a probabilidade. O número de formas de alinhar 5 livros numa fila é 5! = 120. Selecionar e ordenar subconjuntos usa permutações, como permutations(5,3) → = 60, e escolher subconjuntos sem os ordenar usa combinações, como combinations(52,5) → = 2.598.960 mãos de póquer de cinco cartas possíveis. Ambas as fórmulas dividem por fatoriais para eliminar as disposições indesejadas, exatamente o que a introdução a permutações e combinações explica em detalhe. A calculadora de fatoriais reúne n!, nPr e nCr no mesmo lugar para esse tipo de tarefa.

Exemplo resolvido 3: um baralho completo. Ordenar as 52 cartas é 52 × 51 × 50 × … × 1, que é exatamente a definição de 52! por extenso. Digite 52! e a calculadora devolve aproximadamente 8,0658e+67, já em notação científica. O produto é real e a definição não muda; apenas a apresentação foi encurtada.

Fatoriais além dos números inteiros

A função gama estende a ideia de fatorial a números que não são inteiros. Para n inteiro, a relação é Γ(n) = (n − 1)!, de modo que a função preenche suavemente os espaços entre os valores fatoriais. Aparece na estatística e na física, mas para efeitos de contagem, n! significa exatamente o que a definição diz, e nenhuma extensão é necessária.

Perguntas frequentes

Por que 0! é igual a 1?

Porque a regra n! = n × (n − 1)! só funciona em n = 1 se 0! = 1. É uma definição escolhida para que o padrão nunca se quebre.

Como digito um fatorial na calculadora?

Digite o número, depois um ponto de exclamação e prima Enter: 5! → = 120. A tecla n! insere o mesmo símbolo.

Posso calcular o fatorial de uma fração ou de um número negativo?

Não com a operação simples n!, que está definida apenas para inteiros a partir de 0. Uma entrada decimal ou negativa devolve um erro. A função gama fornece a versão estendida para quem precisa dela.

Por que os fatoriais crescem tão depressa?

Cada passo multiplica pelo próximo número inteiro, de modo que o crescimento se acumula. Depois de 10! = 3.628.800, mais dez passos chegam a 20! = 2.432.902.008.176.640.000, razão pela qual a apresentação acaba por mudar para notação científica.