nの階乗、すなわちn!とは、nから1までのすべての整数を掛け合わせた積のことです。たとえば 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 となります。定義に一貫性を持たせるため 0! = 1 とされており、階乗は非常に急速に増加するため、数え上げや確率の計算の土台になっています。

要点まとめ

5! = 120、10! = 3,628,800、20! = 2,432,902,008,176,640,000。

0! = 1:漸化式 n! = n × (n − 1)! から必然的に導かれます。

階乗は急速に大きくなります:6! = 720、7! = 5,040、8! = 40,320。

電卓では 5! と入力してEnterを押すと → = 120 になります。

階乗とは何か

階乗はカウントダウンのようなものです。整数nに対して、nから1までのすべての整数を掛け合わせると n! が得られ、「nの階乗」と読みます。

計算例1:小さな階乗の計算。 3! = 3 × 2 × 1 = 6。4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24。5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120。電卓では 4! → = 24、5! → = 120 となります。感嘆符自体を入力しても、n!キーを使っても、どちらも同じ操作になります。

階乗は積み重なっていく

それぞれの階乗は、その一つ前の階乗を内包しています。5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 と 4! = 4 × 3 × 2 × 1 から、5! = 5 × 4! という関係が成り立ちます。一般化すると n! = n × (n − 1)! です。この一つの規則が、これから説明するすべての性質、そして0!の値の背後にあります。

計算例2:漸化式の実践。 10! = 10 × 9! です。9! = 362,880 であることから、10! = 10 × 362,880 = 3,628,800 が得られます。電卓では 9! → = 362,880、10! → = 3,628,800 となります。

なぜ0!は1になるのか

これは漸化式によって決まります。n = 1のとき、規則は 1! = 1 × 0! となり、1! = 1 であることから、0! は1でなければならないことが導かれます。組み合わせ論の観点でも同じ結論になります。0個のものを並べる方法は「何もしない」という1通りだけです。どちらの考え方も同じ値に行き着き、0! = 1 としておくことで、n! = n × (n − 1)! という式が例外なくすべての段階で成り立つようになります。

階乗の一覧表

最初の10個の階乗は、いずれも電卓で再現できます。

0! = 1、1! = 1、2! = 2、3! = 6、4! = 24、5! = 120。
6! = 720、7! = 5,040、8! = 40,320、9! = 362,880、10! = 3,628,800。

どの行も電卓で確認できます。7! → = 5,040、13! → = 6,227,020,800。この表を超えると、数字は日常的な感覚を離れていきます。13! の時点ですでに10桁を超えており、20! = 2,432,902,008,176,640,000 は64ビット整数の最大値をも上回ります。これほど大きな結果は指数表記で表示され、科学的記数法電卓を使えば、その簡略形を元の桁数の完全な数字列に展開できます。

階乗が登場する場面

階乗は並べ方の数を数えるものであり、並べ方は確率のあらゆる場面に登場します。5冊の本を一列に並べる方法の数は 5! = 120 です。部分集合を選んで並べる操作には順列が使われ、たとえば permutations(5,3) → = 60 です。並べ方を区別せずに部分集合を選ぶ操作には組み合わせが使われ、たとえば combinations(52,5) → = 2,598,960 は5枚のポーカーハンドの可能な組み合わせの数です。どちらの公式も、不要な並べ方を取り除くために階乗で割っており、これはまさに順列と組み合わせの入門ガイドで詳しく扱っているテーマです。階乗電卓では、n!、nPr、nCrをまとめて計算できます。

計算例3:トランプ1組全体。 52枚のカードすべてを並べる方法の数は 52 × 51 × 50 × … × 1 で、これはまさに 52! の定義そのものです。52! と入力すると、電卓はすでに指数表記で 8.0658e+67 あたりの値を返します。積そのものは実在する数であり、定義も変わっていません。変わったのは表示形式だけです。

整数を超えた階乗

ガンマ関数は、階乗の考え方を整数以外の数にまで拡張します。整数nに対しては Γ(n) = (n − 1)! という関係が成り立ち、この関数は階乗の値の間を滑らかに埋めていきます。ガンマ関数は統計学や物理学に登場しますが、数え上げの場面では n! は定義どおりの意味しか持たず、拡張は必要ありません。

よくある質問

なぜ0!は1になるのですか?

規則 n! = n × (n − 1)! がn = 1で成り立つためには、0! = 1 である必要があるからです。これはパターンが決して破綻しないように選ばれた定義です。

電卓で階乗を入力するにはどうすればよいですか?

数字を入力し、続けて感嘆符を入力してEnterを押します。5! → = 120。n!キーを使っても同じ記号が入力されます。

分数や負の数の階乗を計算できますか?

通常の n! 演算では計算できません。この演算は0以上の整数に対してのみ定義されています。小数や負の数を入力するとエラーが返されます。そうした拡張が必要な計算にはガンマ関数が対応します。

なぜ階乗はこれほど急速に大きくなるのですか?

各段階で次の整数を掛け合わせるため、増加が複利的に積み重なっていきます。10! = 3,628,800 のあと、さらに10段階進むと 20! = 2,432,902,008,176,640,000 に達し、これが表示がやがて指数表記へ切り替わる理由です。