n 的阶乘，写作 n!，是从 n 一直乘到 1 的所有正整数之积。例如 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24。为了让定义保持一致，约定 0! = 1；阶乘增长得极快，也正因如此，它成为计数与概率问题的基础工具。

要点速览

5! = 120，10! = 3,628,800，20! = 2,432,902,008,176,640,000。

0! = 1：递推关系 n! = n × (n − 1)! 决定了这一点。

阶乘增长很快：6! = 720，7! = 5,040，8! = 40,320。

在计算器上输入 5! 并按下 Enter → = 120。

阶乘是什么

阶乘是一种“倒数相乘”的运算。对于一个正整数 n，把从 n 到 1 之间的每个整数依次相乘，得到的结果就是 n!，读作“n 的阶乘”。

示例 1：计算较小的阶乘。 3! = 3 × 2 × 1 = 6。4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24。5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120。在计算器上，输入 4! → = 24，输入 5! → = 120。你可以直接输入感叹号，也可以使用 n! 键，两者插入的符号完全相同。

阶乘之间是层层递进的

每一个阶乘都包含了前一个阶乘的结果。既然 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1，而 4! = 4 × 3 × 2 × 1，那么可以写成 5! = 5 × 4!。推广开来，就是 n! = n × (n − 1)!。后面提到的每一条性质，包括 0! 的取值，都源自这一条规则。

示例 2：递推关系的实际应用。 10! = 10 × 9!。已知 9! = 362,880，可以算出 10! = 10 × 362,880 = 3,628,800。在计算器上，输入 9! → = 362,880，输入 10! → = 3,628,800。

为什么 0! 等于 1

答案由递推关系决定。当 n = 1 时，规则给出 1! = 1 × 0!；既然 1! = 1，那么 0! 必然等于 1。从组合的角度来看也是一样的结论：排列 0 个物体只有“什么都不做”这一种方式，所以只有 1 种排法。两种推理殊途同归，而保持 0! = 1，也让公式 n! = n × (n − 1)! 在每一步都能成立，没有例外。

阶乘数值表

前十个阶乘的值，都可以在计算器上验证：

0! = 1，1! = 1，2! = 2，3! = 6，4! = 24，5! = 120。
6! = 720，7! = 5,040，8! = 40,320，9! = 362,880，10! = 3,628,800。

表中每一行都能在计算器上验证：输入 7! → = 5,040，输入 13! → = 6,227,020,800。超出这张表之后，数字很快就会超出日常直觉的范围。13! 已经超过十位数，而 20! = 2,432,902,008,176,640,000，已经超过了最大的 64 位整数所能表示的范围。这么大的结果会以科学计数法显示，科学计数法计算器可以把这种简化形式还原成完整的数字串。

阶乘出现在哪些地方

阶乘用来计数排列方式，而排列在概率问题中随处可见。把 5 本书排成一排的方式数是 5! = 120。从一组元素中挑选一部分并排序，用的是排列，例如 permutations(5,3) → = 60；从一组元素中挑选一部分但不考虑顺序，用的是组合，例如 combinations(52,5) → = 2,598,960，也就是五张牌的扑克手牌总数。这两个公式都用阶乘去除，从而剔除掉不需要的排列方式，这正是排列与组合入门所详细讲解的内容。阶乘计算器把 n!、nPr、nCr 三种运算整合在一起，正好适合这类计算。

示例 3：整副扑克牌。 把 52 张牌全部排成一列的方式数是 52 × 51 × 50 × … × 1，这正是 52! 的展开写法。输入 52!，计算器会返回大约 8.0658e+67，直接以科学计数法显示。这个乘积本身是真实存在的，定义也没有变化，只是显示形式被压缩了。

超越正整数的阶乘

伽玛函数把阶乘的概念延伸到了非整数上。对于正整数 n，两者的关系是 Γ(n) = (n − 1)!，因此该函数能够平滑地填补阶乘数值之间的空白。它常出现在统计学和物理学中，但就计数问题而言，n! 的含义就是定义本身，不需要任何延伸。

常见问题

为什么 0! 等于 1？

因为规则 n! = n × (n − 1)! 只有在 0! = 1 的情况下，才能在 n = 1 时成立。这是一个特意选定的定义，为的是让这条规律永远不会被打破。

如何在计算器上输入阶乘？

先输入数字，再输入感叹号，然后按下 Enter：5! → = 120。n! 键插入的符号是一样的。

可以对分数或负数取阶乘吗？

普通的 n! 运算不支持这么做，它的定义域是从 0 开始的正整数。输入小数或负数会返回错误提示。如果需要扩展的版本，可以使用伽玛函数。

为什么阶乘会增长得这么快？

因为每往前一步都要再乘以一个新的整数，增长速度会不断叠加。从 10! = 3,628,800 开始，再往前推十步，就到了 20! = 2,432,902,008,176,640,000，这也是为什么显示最终会切换成科学计数法的原因。