La factorielle de n, écrite n!, est le produit de tous les nombres entiers de n jusqu’à 1. Donc 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Une définition cohérente impose 0! = 1, et les factorielles croissent si vite qu’elles ancrent l’essentiel du dénombrement et de la probabilité.

Points clés

5! = 120, 10! = 3,628,800, et 20! = 2,432,902,008,176,640,000.

0! = 1 : la récursion n! = n × (n − 1)! l’impose.

Les factorielles montent vite : 6! = 720, 7! = 5,040, et 8! = 40,320.

Sur la calculatrice, tapez 5! et appuyez sur Entrée → = 120.

Ce qu’est une factorielle

La factorielle compte à rebours. Pour un nombre entier n, multiplier chaque entier de n jusqu’à 1 donne n!, lu comme “factorielle de n”.

Exemple détaillé 1 : calculer de petites factorielles. 3! = 3 × 2 × 1 = 6. 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Sur la calculatrice, 4! → = 24 et 5! → = 120. Vous pouvez taper le point d’exclamation lui-même ou utiliser la touche n! ; les deux insèrent la même chose.

Les factorielles s’appuient l’une sur l’autre

Chaque factorielle contient la précédente. Comme 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 et 4! = 4 × 3 × 2 × 1, la relation s’écrit 5! = 5 × 4!. En général, n! = n × (n − 1)!. Cette seule règle se cache derrière chaque propriété qui suit, y compris la valeur de 0!.

Exemple détaillé 2 : la récursion en action. 10! = 10 × 9!. Étant donné 9! = 362,880, vous obtenez 10! = 10 × 362,880 = 3,628,800. Sur la calculatrice, 9! → = 362,880 et 10! → = 3,628,800.

Pourquoi 0! vaut 1

C’est la récursion qui le décide. À n = 1 la règle dit 1! = 1 × 0!, et puisque 1! = 1, il s’ensuit que 0! doit valoir 1. Une vue combinatoire est d’accord : il existe exactement une façon de ranger zéro objet, en ne faisant rien. Les deux arguments arrivent sur la même valeur, et garder 0! = 1 laisse la formule n! = n × (n − 1)! tenir à chaque étape sans exception.

Un tableau de factorielles

Les dix premières factorielles, chacune reproductible sur la calculatrice :

0! = 1, 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120.
6! = 720, 7! = 5,040, 8! = 40,320, 9! = 362,880, 10! = 3,628,800.

Chaque rangée se vérifie sur la calculatrice : 7! → = 5,040 et 13! → = 6,227,020,800. Passé le tableau, les nombres laissent l’intuition quotidienne derrière eux. 13! dépasse déjà dix chiffres, et 20! = 2,432,902,008,176,640,000, ce qui excède le plus grand entier 64 bits. Des résultats aussi grands s’affichent en notation scientifique, et la calculatrice de notation scientifique redéplie la forme compacte en une chaîne complète de chiffres.

Où les factorielles apparaissent

Les factorielles comptent les arrangements, et les arrangements apparaissent partout en probabilité. Le nombre de façons de ranger 5 livres sur une étagère est 5! = 120. Sélectionner et ordonner des sous-ensembles utilise les permutations, comme permutations(5,3) → = 60, et choisir des sous-ensembles sans ordre utilise les combinaisons, comme combinations(52,5) → = 2,598,960 mains de poker possibles de cinq cartes. Les deux formules divisent par des factorielles pour retirer les arrangements dont elles ne veulent pas, c’est exactement ce que le guide des permutations et combinaisons travaille en détail. La calculatrice de factorielles porte n!, nPr et nCr ensemble pour ce genre de travail.

Exemple détaillé 3 : un jeu complet. Ordonner les 52 cartes, c’est 52 × 51 × 50 × … × 1, soit la définition de 52! écrite au long. Tapez 52! et la calculatrice renvoie environ 8.0658e+67, déjà en notation scientifique. Le produit est réel et la définition est inchangée ; seul l’affichage a été raccourci.

Les factorielles au-delà des nombres entiers

La fonction gamma étend l’idée de factorielle aux nombres qui ne sont pas entiers. Pour un entier n, le lien s’écrit Γ(n) = (n − 1)!, donc la fonction remplit doucement les trous entre les valeurs factorielles. Elle apparaît en statistique et en physique, mais pour le dénombrement, n! signifie exactement ce que dit la définition, et aucune extension n’est nécessaire.

Questions fréquentes

Pourquoi 0! est-il égal à 1 ?

Parce que la règle n! = n × (n − 1)! ne fonctionne à n = 1 que si 0! = 1. C’est une définition choisie pour que le motif ne casse jamais.

Comment taper une factorielle sur la calculatrice ?

Tapez le nombre, puis un point d’exclamation, puis appuyez sur Entrée : 5! → = 120. La touche n! insère le même signe.

Puis-je prendre la factorielle d’une fraction ou d’un nombre négatif ?

Pas avec l’opération simple n!, qui est définie pour les nombres entiers à partir de 0. Une entrée décimale ou négative renvoie une erreur. La fonction gamma fournit la version étendue pour les maths qui en ont besoin.

Pourquoi les factorielles deviennent-elles si grandes si vite ?

Chaque étape multiplie par le nombre entier suivant, donc la croissance se compose. Après 10! = 3,628,800, dix étapes de plus atteignent 20! = 2,432,902,008,176,640,000, c’est pourquoi l’affichage finit par passer en notation scientifique.