階乗計算
自然数nの階乗（n!）を計算し、その数学的意味と応用を解説します。
Last updated: August 2026 · Written and verified by Akash Pandey
階乗を計算する
Factorial
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階乗とは？
階乗は、1からnまでのすべての正の整数の積です。n! と表記し、「nの階乗」と読みます。
n! = n × (n−1) × (n−2) × ... × 2 × 1
- n = 正の整数
- 0! = 1（定義）
主な階乗の値
| n | n! |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 6 |
| 4 | 24 |
| 5 | 120 |
| 10 | 3,628,800 |
階乗の応用
- 順列: P(n,r) = n! / (n−r)!
- 組合せ: C(n,r) = n! / (r!(n−r)!)
- テイラー展開: e^x = Σ x^n / n!
よくある質問
0! なぜ1なのですか？
0! = 1 は数学的に定義された値です。空の積は1と定義され、組合せの公式 C(n,0) = 1 が成り立つために必要です。
100! のような大きい階乗はどう計算しますか？
直接計算すると膨大な数字になります。実際には対数を取り、log(n!) = Σ log(k) として計算します。スターリングの公式でも近似できます。
スターリングの公式とは何ですか？
n! ≈ √(2πn)(n/e)^n で、大きなnの階乗を近似する公式です。計算機科学や統計学で頻繁に使用されます。
負の数の階乗はありますか？
整数の負の数の階乗は定義されていません。ただし、ガンマ関数 Γ(n) = (n−1)! として実数・複素数に拡張できます。
双階乗とは何ですか？
n!! は2つ飛ばしの積です。例えば5!! = 5×3×1 = 15、6!! = 6×4×2 = 48となります。
階乗と順列・組合せの関係は何ですか？
順列はn個からr個を選ぶ順序付きの並べ方、組合せは順序なしの選び方です。どちらも階乗を使って計算します。
階乗の成長率はどれくらいですか？
階乗は超指数関数的に成長します。nが2倍になると階乗は桁違いに大きくなり、非常に速い成長率を持ちます。
階乗の応用例は何ですか？
確率論、統計学、アルゴリズムの計算量解析、多項式展開、暗号理論など多くの分野で使用されます。