الدرجات والراديان مسطرتان لقياس الشيء نفسه، أي مقدار الزاوية، والآلة الحاسبة قادرة على العمل بأي منهما. الوحدة هي ما يحدّد معنى الرقم. للتحويل تضرب في × π/180 في اتجاه، وفي × 180/π في الاتجاه المعاكس، وتبديل مفتاح DEG/RAD يغيّر طريقة قراءة كل مُدخل مثلثي تكتبه.
أهم النقاط
30°بالراديان تساوي30 × π / 180 = 0.523598775598، وπ/4راديان تعود إلى الدرجات فتصبح45.- الراديان هو الزاوية التي يساوي طول قوسها نصف القطر، لذا فإن الدورة الكاملة تساوي
2πراديان لا360.- تبدأ الآلة الحاسبة افتراضيًا بوضع DEG، حيث ينتج
sin(30)←= 0.5؛ وفي وضع RAD تصبح نفس العبارة جيب الزاوية 30 راديان، أي نحو-0.988031624093.- في وضع RAD، ينتج
sin(30*pi/180)←= 0.5، لأن التحويل حوّل الزاوية إلى راديان صراحةً.
ما هي الدرجة، وما هو الراديان؟
كلاهما يقيس الزاوية، ولا واحد منهما مفروض رياضيًا بالضرورة. الدرجة اختيار تاريخي: درجة واحدة تساوي 1/360 من الدورة الكاملة. أما الراديان فهندسي بطبيعته. خذ نصف قطر دائرة، وضعه على طول محيطها، فالزاوية التي يحصرها عند المركز تساوي راديانًا واحدًا. ولأن محيط الدائرة الكامل يساوي 2πr، فإن الدورة الكاملة تساوي بالضبط 2π راديان، ونصف الدورة يساوي π راديان. وهذه الحقيقة الأخيرة، أن π راديان تساوي 180°، هي التحويل الوحيد الذي تحتاج إلى حفظه. تناول مقال شرح π ماهية هذا الثابت نفسه.
لماذا وُجد الراديان أصلًا
وُجد الراديان لأنه يُبقي الهندسة نظيفة. على طول دائرة نصف قطرها r، يكون طول القوس ببساطة s = r × θ عندما تكون θ بالراديان. أما بالدرجات فإن الصيغة نفسها تسحب معها معامل π/180. وهذا المعامل نفسه يتكرر ظهوره في كل مشتقة وكل مفكوك متسلسلة. مشتقة الجيب تساوي جيب التمام فقط عندما تكون الزاوية بالراديان؛ أما بالدرجات فتظهر ثابت إضافي. يتعمق دليل الدرجات مقابل الراديان في هذا الموضوع أكثر، ويجمع مرجع حساب المثلثات المتطابقات والقيم التي تفترض إحدى الوحدتين.
تحويل الدرجات إلى راديان
اضرب في π/180. بالنسبة لـ 30° فإن ذلك يعني 30 × π/180، وينتج 30pi/180 ← = 0.523598775598. تظهر الإجابة كرقم مجرد؛ ويبقى ارتباطها بالراديان مجرد تسمية. 60° تعطي 60 × π/180 = π/3، وينتج 60pi/180 ← = 1.0471975512. إذا أبقيت العبارة كاملة في سطر واحد، تتولى الآلة الحاسبة التحويل نيابةً عنك.
تحويل الراديان إلى درجات
اضرب في 180/π. بالنسبة لـ π/4 فإن ذلك يعني (π/4) × 180/π = 45، وينتج (pi/4)*180/pi ← = 45. حرف π يُحذف من البسط والمقام، وهذا هو سبب ظهور الزوايا المألوفة كأعداد صحيحة. π/2 راديان تساوي 90°، وينتج (pi/2)*180/pi ← = 90. يحوّل هذا التحويل أي زاوية بالراديان إلى قراءتها بالدرجات على الدائرة نفسها.
الزوايا الشائعة بالوحدتين
| الدرجات | الراديان |
|---|---|
| 0° | 0 |
| 30° | 0.523598775598 |
| 45° | 0.785398163397 |
| 60° | 1.0471975512 |
| 90° | 1.57079632679 |
كل قيمة بالراديان تساوي الدرجات × π/180، معروضة حتى 12 رقمًا معنويًا كما تعرضها الآلة الحاسبة. أما π نفسها فتُعرض على شكل 3.14159265359، لذا فإن كل رقم في الجدول هو جزء مُقيّس منها. جيوب هذه الزوايا وجيوب تمامها موجودة في مرجع حساب المثلثات، وهو المكان المعتاد للبحث عنها.
ما الذي يغيّره مفتاح DEG/RAD فعليًا
المفتاح لا يغيّر ماهية الزاوية. بل يغيّر الطريقة التي تقرأ بها دوال حساب المثلثات الرقم الذي تكتبه. في وضع DEG، ينتج sin(30) ← = 0.5، لأن الرقم 30 يُقرأ باعتباره 30 درجة. وفي وضع RAD، تعيد العبارة نفسها جيب الزاوية 30 راديان، أي نحو -0.988031624093. يسرد مرجع دوال الآلة الحاسبة كل دالة تخضع لهذا المفتاح، وتتذكر الآلة الحاسبة اختيارك بين الزيارات.
عندما تريد إجابة لا تعتمد على وضع المفتاح، اكتب التحويل مباشرةً داخل العبارة. في وضع RAD، ينتج sin(30*pi/180) ← = 0.5، لأن العملية الحسابية حوّلت الزاوية إلى راديان بنفسها. وفي وضع DEG سيُعامل السطر نفسه ذلك الرقم الصغير كدرجات، لذا تحقق من الوضع الذي أنت فيه قبل أن تثق بالنتيجة. يعرض دليل الدرجات مقابل الراديان الأمثلة نفسها من جانب الصفحة.
كل دالة مثلثية على لوحة المفاتيح، الجيب وجيب التمام والظل ودوالها العكسية، تخضع للمفتاح نفسه، لذا فإن الاختيار يؤثر في العبارة بأكملها دفعة واحدة. النصيحة العملية بسيطة: أبقِ وضع DEG لهندسة المدرسة والإنشاءات ومعظم المسائل اليومية، واستخدم وضع RAD لحساب التفاضل والتكامل وأي شيء يُغذّي متسلسلة أو مشتقة. تُحفظ وحدة الزاوية بين الزيارات، لذا فإن إجابة عملت الأسبوع الماضي ما زالت تتصرف بالطريقة نفسها التي تركتها عليها.
الأسئلة الشائعة
ما أسرع طريقة لمعرفة الوضع الذي تعمل به الآلة الحاسبة؟
احسب sin(30). بالدرجات تكون الإجابة 0.5. وبالراديان تكون نحو -0.988031624093. هذه هي الطريقة القياسية للتمييز بين الوضعين.
كيف أحوّل 60 درجة إلى راديان؟
اضرب في π/180: 60 × π/180 = π/3، وينتج 60*pi/180 ← = 1.0471975512.
لماذا يفضّل علماء الرياضيات الراديان؟
لأن صيغة طول القوس ومشتقات الدوال المثلثية تخرج نظيفة بدونه. sin θ تُشتق إلى cos θ فقط عندما تكون θ بالراديان؛ أما بالدرجات فتُضطر لسحب معامل ثابت معك في كل خطوة.
هل 30 درجة و0.5236 راديان تسميتان لزاويتين مختلفتين؟
لا. إنهما تسميتان للزاوية نفسها على مسطرتين مختلفتين. 30° ونحو 0.5236 راديان هما القطاع نفسه من الدائرة، لكن بوحدتي قياس مختلفتين فحسب.