Les degrés et les radians sont deux règles graduées pour la même chose, la taille d’un angle, et la calculatrice peut travailler dans l’une ou l’autre. L’unité décide de ce que signifie le nombre. Convertissez avec × π/180 dans un sens et × 180/π dans l’autre, et un basculement de l’interrupteur DEG/RAD change la façon dont chaque entrée trigonométrique que vous tapez est lue.

Points clés

30° en radians vaut 30 × π / 180 = 0.523598775598, et π/4 radians reconverti en degrés vaut 45.

Un radian est l’angle dont l’arc égale un rayon, donc un tour complet vaut 2π radians plutôt que 360.

La calculatrice est réglée sur DEG par défaut, où sin(30) → = 0.5 ; en mode RAD la même expression est le sinus de 30 radians, environ -0.988031624093.

En mode RAD, sin(30*pi/180) → = 0.5, parce que la conversion a mis l’angle en radians explicitement.

Qu’est-ce qu’un degré, et qu’est-ce qu’un radian ?

Les deux mesurent un angle, et aucun des deux n’est mathématiquement imposé. Le degré est un choix historique : un degré vaut 1/360 d’un tour complet. Le radian est géométrique. Prenez le rayon d’un cercle, posez-le le long de la circonférence, et l’angle qu’il balaie au centre est un radian. Parce qu’une circonférence complète vaut 2πr, un tour complet vaut exactement 2π radians, et un demi-tour vaut π radians. Ce dernier fait, π radians égale 180°, est la seule conversion dont vous ayez besoin de vous souvenir. L’article pi expliqué regarde ce qu’est la constante elle-même.

Pourquoi les radians existent

Les radians existent parce qu’ils gardent la géométrie propre. Le long d’un cercle de rayon r, la longueur d’arc est simplement s = r × θ quand θ est en radians. En degrés, la même formule traîne un facteur π/180 partout. Ce même facteur suivrait chaque dérivée et chaque développement en série. La dérivée du sinus est le cosinus seulement quand l’angle est en radians ; en degrés elle attrape une constante supplémentaire. Le guide des degrés et des radians va plus loin là-dessus, et la référence de trigonométrie rassemble les identités et les valeurs qui supposent l’une ou l’autre unité.

Convertir des degrés en radians

Multipliez par π/180. Pour 30°, cela donne 30 × π/180, et 30pi/180 → = 0.523598775598. La réponse sort comme un nombre ordinaire ; les radians n’y restent attachés que par l’étiquette. 60° donne 60 × π/180 = π/3, et 60pi/180 → = 1.0471975512. Si vous gardez l’expression sur une seule ligne, la calculatrice fait la conversion pour vous.

Convertir des radians en degrés

Multipliez par 180/π. Pour π/4, cela donne (π/4) × 180/π = 45, et (pi/4)*180/pi → = 45. Le π s’annule en haut et en bas, c’est pourquoi les angles familiers sortent comme des nombres entiers. π/2 radians vaut 90°, et (pi/2)*180/pi → = 90. La conversion transforme n’importe quel angle en radians en la lecture en degrés du même cercle.

Les angles courants dans les deux unités

Degrés	Radians
0°	0
30°	0.523598775598
45°	0.785398163397
60°	1.0471975512
90°	1.57079632679

Chaque valeur en radians est degrés × π/180, affichée avec les 12 chiffres significatifs de la calculatrice. π lui-même s’affiche comme 3.14159265359, donc chaque nombre du tableau est une portion mise à l’échelle de lui. Les sinus et cosinus de ces angles se trouvent dans la référence de trigonométrie, qui est l’endroit habituel pour les chercher.

Ce que l’interrupteur DEG/RAD change réellement

L’interrupteur ne change pas ce qu’est un angle. Il change la façon dont les fonctions trigonométriques lisent le nombre que vous tapez. En mode DEG, sin(30) → = 0.5, parce que 30 est lu comme 30 degrés. En mode RAD, la même expression renvoie le sinus de 30 radians, environ -0.988031624093. La référence des fonctions de la calculatrice liste chaque fonction qui honore l’interrupteur, et la calculatrice se souvient de votre choix entre les visites.

Quand vous voulez une réponse qui ne dépend pas de l’interrupteur, écrivez la conversion dans l’expression. En mode RAD, sin(30*pi/180) → = 0.5, parce que l’arithmétique a transformé l’angle en radians elle-même. En mode DEG, la même ligne traiterait ce petit nombre comme des degrés, alors vérifiez dans quel mode vous êtes avant de lui faire confiance. Le guide des degrés et des radians montre les mêmes exemples du côté de la page.

Chaque fonction trigonométrique du pavé, sinus, cosinus, tangente et leurs inverses, lit le même interrupteur, donc le choix affecte des expressions entières d’un coup. Le conseil pratique est simple : gardez DEG pour la géométrie scolaire, la construction et la plupart des problèmes quotidiens, et utilisez RAD pour le calcul infinitésimal et tout ce qui alimente une série ou une dérivée. Le mode d’angle est mémorisé entre les visites, donc une réponse qui marchait la semaine dernière se comporte toujours comme vous l’avez laissée.

Questions fréquentes

Quel est le moyen le plus rapide de vérifier dans quel mode la calculatrice se trouve ?

Évaluez sin(30). En degrés la réponse est 0.5. En radians elle est d’environ -0.988031624093. C’est la façon standard de distinguer les modes.

Comment convertir 60 degrés en radians ?

Multipliez par π/180 : 60 × π/180 = π/3, et 60*pi/180 → = 1.0471975512.

Pourquoi les mathématiciens préfèrent-ils les radians ?

Parce que la formule de la longueur d’arc et les dérivées des fonctions trigonométriques sortent proprement. sin θ se dérive en cos θ seulement quand θ est en radians ; en degrés vous traînez un facteur constant partout.

30 degrés et 0.5236 radians nomment-ils des angles différents ?

Non. Ils nomment le même angle sur deux règles graduées. 30° et environ 0.5236 radians sont la même portion de cercle, juste mesurée dans des unités différentes.