角度和弧度是衡量同一件事的两把尺子——角的大小，计算器可以用其中任意一种单位来运算。单位决定了数字的含义。从角度换算到弧度乘以 × π/180，反过来乘以 × 180/π，只要切换一下 DEG/RAD 按钮，你输入的每一个三角函数值的读取方式都会随之改变。

要点速览

30° 换算成弧度是 30 × π / 180 = 0.523598775598，而 π/4 弧度换算回角度是 45。

一弧度是弧长恰好等于半径时所对的圆心角，因此一整圈是 2π 弧度，而不是 360。

计算器默认使用 DEG 模式，此时 sin(30) → = 0.5；在 RAD 模式下，同一个表达式求的是 30 弧度的正弦值，约为 -0.988031624093。

在 RAD 模式下，sin(30*pi/180) → = 0.5，因为换算已经明确把角度转成了弧度。

什么是角度，什么是弧度？

两者都是衡量角的单位，但都不是数学上必然的选择。角度是一个历史性的约定：一度是一整圈的 1/360。弧度则是几何定义：取一个圆的半径，把它沿圆周量出去，在圆心处所对的角就是一弧度。因为整个圆周长是 2πr，所以一整圈正好是 2π 弧度，半圈是 π 弧度。这个事实——π 弧度等于 180°——是你唯一需要记住的换算关系。圆周率详解一文详细介绍了这个常数本身。

弧度为何存在

弧度之所以存在，是因为它能让几何关系保持简洁。在半径为 r 的圆上，当 θ 用弧度表示时，弧长公式简单地写成 s = r × θ。而用角度表示同一个公式时，会多出一个 π/180 的系数。这个系数会一路带入每一个导数和级数展开式中。只有当角度用弧度表示时，正弦函数的导数才恰好是余弦函数；用角度制的话，则会多出一个常数因子。角度与弧度指南对此有更深入的说明，而三角函数参考表则汇总了假定使用某一种单位的恒等式和数值。

角度换算成弧度

乘以 π/180。以 30° 为例，即 30 × π/180，30pi/180 → = 0.523598775598。结果以纯数字形式出现，弧度这个单位只是附带的标签而已。60° 得到 60 × π/180 = π/3，60pi/180 → = 1.0471975512。只要把表达式写在一行里，计算器就会自动帮你完成换算。

弧度换算成角度

乘以 180/π。以 π/4 为例，即 (π/4) × 180/π = 45，(pi/4)*180/pi → = 45。分子分母的 π 相互抵消，这也是为什么那些常见角度换算出来都是整数的原因。π/2 弧度是 90°，(pi/2)*180/pi → = 90。换算会把任意一个以弧度表示的角，转换成同一个圆上以角度表示的读数。

常见角度的两种单位对照

角度	弧度
0°	0
30°	0.523598775598
45°	0.785398163397
60°	1.0471975512
90°	1.57079632679

每一个弧度值都等于 角度 × π/180，并按计算器 12 位有效数字的精度显示。π 本身显示为 3.14159265359，所以表格中的每一个数字都是它按比例缩放后的结果。这些角度对应的正弦值和余弦值可以在三角函数参考表中查到，这也是查阅它们的常用之处。

DEG/RAD 切换按钮到底改变了什么

这个切换按钮并不会改变角本身的大小，它改变的是三角函数读取你输入数字的方式。在 DEG 模式下，sin(30) → = 0.5，因为 30 被读作 30 度。在 RAD 模式下，同一个表达式返回的是 30 弧度的正弦值，约为 -0.988031624093。计算器函数参考列出了所有会响应这个切换按钮的函数，而计算器会在你下次访问时记住你的选择。

如果你想要一个不依赖切换按钮的答案，可以直接把换算写进表达式里。在 RAD 模式下，sin(30*pi/180) → = 0.5，因为这段运算本身已经把角度转成了弧度。而在 DEG 模式下，同一行代码会把这个很小的数字当作角度来处理，所以在信任结果之前，一定要先确认自己处于哪种模式。角度与弧度指南从页面的角度展示了同样的例子。

键盘上的每一个三角函数——正弦、余弦、正切，以及它们的反函数——都会读取同一个切换按钮，所以这个选择会一次性影响整个表达式。实用的建议很简单：学校几何、建筑测量以及大多数日常问题用 DEG 模式；微积分以及涉及级数或导数的运算用 RAD 模式。角度模式会在多次访问之间被记住，所以上周算出来的答案，现在依然会以你离开时的方式呈现。

常见问题

判断计算器当前处于哪种模式，最快的方法是什么？

计算 sin(30)。角度模式下答案是 0.5，弧度模式下答案约为 -0.988031624093。这是区分两种模式最标准的方法。

60 度如何换算成弧度？

乘以 π/180：60 × π/180 = π/3，60*pi/180 → = 1.0471975512。

为什么数学家更偏爱弧度？

因为弧长公式和三角函数的导数在弧度下才会呈现简洁的形式。只有当 θ 用弧度表示时，sin θ 的导数才是 cos θ；用角度制的话，就会多出一个常数因子。

30 度和 0.5236 弧度是两个不同的角吗？

不是。它们只是用两把不同的尺子来命名同一个角。30° 和约 0.5236 弧度，是同一个圆上的同一个扇形，只是用了不同的单位来度量。