度とラジアンは、同じもの、つまり角度の大きさを測る2種類の物差しであり、電卓はどちらのモードでも計算できます。単位が変わるのは、数値が何を意味するかという点です。一方から他方へは × π/180 または × 180/π で変換でき、DEG/RADの切り替えを1回するだけで、入力するすべての三角関数値の読み取り方が変わります。
要点まとめ
30°をラジアンにすると30 × π / 180 = 0.523598775598、π/4ラジアンを度に戻すと45になります。- ラジアンは弧の長さが半径と等しくなる角度なので、1周は
360ではなく2πラジアンです。- 電卓の初期設定はDEGモードで、
sin(30)→= 0.5になります。RADモードでは同じ式が「30ラジアンのサイン」、約-0.988031624093を返します。- RADモードで
sin(30*pi/180)→= 0.5になるのは、変換によって角度が明示的にラジアンとして渡されているためです。
度とラジアンとは何か
どちらも角度を測る単位ですが、どちらが数学的に必然というわけではありません。度は歴史的な取り決めで、1度は1周の 1/360 です。一方ラジアンは幾何学的な単位です。円の半径を円周に沿って置いたとき、中心にできる角度が1ラジアンです。円周全体が 2πr であることから、1周はちょうど 2π ラジアン、半周は π ラジアンになります。「π ラジアン = 180°」というこの事実だけを覚えておけば十分です。円周率そのものについてはπについての記事で詳しく扱っています。
ラジアンが存在する理由
ラジアンが存在するのは、幾何学の式をシンプルに保てるからです。半径 r の円において、θがラジアンで表されているとき、弧の長さは単純に s = r × θ となります。度で表すと、同じ式に π/180 という係数が常について回ります。この係数は、微分や級数展開のあらゆる場面にも顔を出します。サインを微分するとコサインになるのは、角度がラジアンで表されているときだけで、度の場合は余分な定数が付いてしまいます。この点については度とラジアンのガイドでさらに詳しく解説しており、三角関数リファレンスにはどちらの単位を前提とした公式や値がまとめられています。
度をラジアンに変換する
π/180 を掛けます。30° の場合は 30 × π/180 となり、30pi/180 → = 0.523598775598 です。答えは単なる数値として出力され、ラジアンという単位はラベルとしてのみ付随します。60° は 60 × π/180 = π/3 となり、60pi/180 → = 1.0471975512 です。式を1行にまとめて入力すれば、変換は電卓が自動的に行います。
ラジアンを度に変換する
180/π を掛けます。π/4 の場合は (π/4) × 180/π = 45 となり、(pi/4)*180/pi → = 45 です。分子と分母のπが打ち消し合うため、おなじみの角度は整数として出てきます。π/2 ラジアンは 90° で、(pi/2)*180/pi → = 90 です。この変換を使えば、ラジアンで表された任意の角度を、同じ円上での度の値に読み替えられます。
主要な角度の度とラジアンの対応
| 度 | ラジアン |
|---|---|
| 0° | 0 |
| 30° | 0.523598775598 |
| 45° | 0.785398163397 |
| 60° | 1.0471975512 |
| 90° | 1.57079632679 |
各ラジアン値は 度 × π/180 で計算され、電卓の有効数字12桁で表示されています。πそのものは 3.14159265359 と表示されるため、表中のすべての数値はπをスケールした値になっています。これらの角度のサインやコサインは三角関数リファレンスにまとめられており、調べたいときはそちらを参照してください。
DEG/RADの切り替えが実際に変えるもの
このトグルは角度そのものの定義を変えるわけではありません。変わるのは、入力した数値を三角関数がどう読み取るかです。DEGモードでは sin(30) → = 0.5 となります。これは30が「30度」として読み取られるためです。RADモードでは、同じ式が「30ラジアンのサイン」、約-0.988031624093を返します。電卓の関数リファレンスには、このトグルの影響を受けるすべての関数が一覧になっており、電卓は次に訪れたときも設定を記憶しています。
トグルの状態に左右されない答えが欲しい場合は、変換式そのものを入力に組み込みます。RADモードで sin(30*pi/180) → = 0.5 になるのは、計算によって角度が明示的にラジアンへ変換されているためです。DEGモードで同じ式を入力すると、その小さな数値が度として扱われてしまうため、信頼する前に自分がどちらのモードにいるかを確認してください。度とラジアンのガイドでは、同じ例をページ側の視点から示しています。
キーパッド上のすべての三角関数、サイン、コサイン、タンジェント、およびそれらの逆関数は、同じトグルを参照します。そのため、この設定は式全体の結果に一度に影響します。実用的な指針はシンプルです。学校の幾何や建築、日常的な問題の多くにはDEGを使い、微積分や級数・微分に関わる計算にはRADを使いましょう。角度モードは訪問のたびに記憶されるので、先週うまくいった答えは今も同じように動作します。
よくある質問
電卓がどちらのモードになっているか、一番早く確認する方法は?
sin(30) を計算してみてください。度モードなら答えは 0.5、ラジアンモードなら約-0.988031624093になります。これがモードを見分ける標準的な方法です。
60度をラジアンに変換するには?
π/180 を掛けます。60 × π/180 = π/3 となり、60*pi/180 → = 1.0471975512 です。
数学者がラジアンを好むのはなぜ?
弧の長さの公式や三角関数の微分がきれいな形になるからです。sin θ を微分すると cos θ になるのは、θがラジアンで表されているときだけで、度の場合は余分な定数係数が付いて回ります。
30度と0.5236ラジアンは異なる角度を指すのか?
いいえ。両者は同じ角度を2種類の物差しで表しているだけです。30° と約0.5236ラジアンは、単位が違うだけで、円の中の同じ扇形を指しています。