Grad und Radiant sind zwei Lineale für dasselbe, die Größe eines Winkels, und der Rechner kann in beiden arbeiten. Die Einheit entscheidet, was die Zahl bedeutet. Rechne mit × π/180 in die eine und × 180/π in die andere Richtung um, und ein Dreh am DEG/RAD-Schalter ändert, wie jede trigonometrische Eingabe gelesen wird.

Die wichtigsten Punkte

30° im Bogenmaß ist 30 × π / 180 = 0.523598775598, und π/4 Radiant zurück in Grad ist 45.

Ein Radiant ist der Winkel, dessen Bogen einen Radius lang ist, also ist eine volle Umdrehung 2π Radiant statt 360.

Der Rechner ist standardmäßig auf DEG, wo sin(30) → = 0.5; im RAD-Modus ist derselbe Ausdruck der Sinus von 30 Radiant, etwa -0.988031624093.

Im RAD-Modus ergibt sin(30*pi/180) → = 0.5, weil die Umrechnung den Winkel explizit ins Bogenmaß gesetzt hat.

Was ist ein Grad, und was ist ein Radiant?

Beide messen Winkel, und keiner ist mathematisch erzwungen. Ein Grad ist eine historische Wahl: Ein Grad ist 1/360 einer vollen Umdrehung. Ein Radiant ist geometrisch. Nimm den Radius eines Kreises, lege ihn entlang der Kreislinie, und der Winkel, den er im Mittelpunkt überstreicht, ist ein Radiant. Da ein ganzer Umfang 2πr ist, sind 2π Radiant eine volle Umdrehung und π Radiant eine halbe. Die letzte Tatsache, π Radiant sind 180°, ist die einzige Umrechnung, die du dir merken musst. Der Beitrag zu Pi erklärt schaut darauf, was die Konstante selbst ist.

Warum das Bogenmaß existiert

Das Bogenmaß existiert, weil es die Geometrie sauber hält. Entlang eines Kreises mit Radius r ist die Bogenlänge einfach s = r × θ, wenn θ im Bogenmaß ist. Im Gradmaß zieht dieselbe Formel einen Faktor π/180 mit. Derselbe Faktor würde durch jede Ableitung und Reihenentwicklung mitschleifen. Die Ableitung des Sinus ist nur dann der Kosinus, wenn der Winkel im Bogenmaß ist; in Grad kommt eine zusätzliche Konstante dazu. Der Leitfaden Grad vs. Bogenmaß geht tiefer darauf ein, und die Trigonometrie-Referenz sammelt die Identitäten und Werte, die die eine oder andere Einheit voraussetzen.

Grad in Bogenmaß umrechnen

Multipliziere mit π/180. Für 30° ist das 30 × π/180, und 30pi/180 → = 0.523598775598. Die Antwort kommt als schlichte Zahl heraus; das Bogenmaß hängt nur als Beschriftung dran. 60° ergibt 60 × π/180 = π/3, und 60pi/180 → = 1.0471975512. Wenn du den Ausdruck in einer Zeile hältst, macht der Rechner die Umrechnung für dich.

Bogenmaß in Grad umrechnen

Multipliziere mit 180/π. Für π/4 ist das (π/4) × 180/π = 45, und (pi/4)*180/pi → = 45. Das π kürzt sich oben und unten, weshalb die vertrauten Winkel als ganze Zahlen herauskommen. π/2 Radiant sind 90°, und (pi/2)*180/pi → = 90. Die Umrechnung verwandelt jeden Winkel in Radiant in die Gradangabe auf demselben Kreis.

Häufige Winkel in beiden Einheiten

Grad	Radiant
0°	0
30°	0.523598775598
45°	0.785398163397
60°	1.0471975512
90°	1.57079632679

Jeder Radiantwert ist Grad × π/180, gezeigt auf 12 signifikante Stellen des Rechners. π selbst zeigt sich als 3.14159265359, so dass jede Zahl in der Tabelle ein Skalierungsstück davon ist. Die Sinus- und Kosinuswerte dieser Winkel stehen in der Trigonometrie-Referenz, dem üblichen Ort zum Nachschlagen.

Was der DEG/RAD-Schalter wirklich ändert

Der Schalter ändert nicht, was ein Winkel ist. Er ändert, wie die trigonometrischen Funktionen die eingegebene Zahl lesen. Im DEG-Modus ergibt sin(30) → = 0.5, weil 30 als 30 Grad gelesen wird. Im RAD-Modus liefert derselbe Ausdruck den Sinus von 30 Radiant, etwa -0.988031624093. Die Referenz der Rechnerfunktionen listet jede Funktion, die den Schalter beachtet, und der Rechner merkt sich deine Wahl zwischen Besuchen.

Wenn du eine Antwort willst, die nicht vom Schalter abhängt, schreibe die Umrechnung in den Ausdruck. Im RAD-Modus ergibt sin(30*pi/180) → = 0.5, weil die Rechnung den Winkel selbst ins Bogenmaß verwandelt hat. Im DEG-Modus würde dieselbe Zeile diese kleine Zahl als Grad behandeln, also prüfe, in welchem Modus du bist, bevor du ihr vertraust. Der Leitfaden Grad vs. Bogenmaß zeigt dieselben Beispiele von der Seitenseite.

Jede trigonometrische Taste auf dem Tastenfeld, Sinus, Kosinus, Tangens und ihre Umkehrungen, liest denselben Schalter, so dass die Wahl ganze Ausdrücke auf einmal betrifft. Die praktische Anleitung ist einfach: Halte DEG für Schulgeometrie, Bauwesen und die meisten Alltagsprobleme, und nutze RAD für die Differential- und Integralrechnung und alles, was in eine Reihe oder eine Ableitung fließt. Der Winkelmodus bleibt zwischen Besuchen gespeichert, also verhält sich eine Antwort von letzter Woche noch so, wie du sie verlassen hast.

Häufig gestellte Fragen

Was ist der schnellste Weg zu prüfen, in welchem Modus der Rechner ist?

Werte sin(30) aus. In Grad ist die Antwort 0.5. In Radiant ist sie etwa -0.988031624093. Das ist der Standardweg, die Modi zu unterscheiden.

Wie rechne ich 60 Grad in Bogenmaß um?

Multipliziere mit π/180: 60 × π/180 = π/3, und 60*pi/180 → = 1.0471975512.

Warum bevorzugen Mathematiker das Bogenmaß?

Weil die Bogenlängenformel und die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen sauber herauskommen. sin θ differenziert genau dann zu cos θ, wenn θ im Bogenmaß ist; in Grad schleppst du eine konstante Zahl mit.

Bezeichnen 30 Grad und 0.5236 Radiant verschiedene Winkel?

Nein. Sie bezeichnen denselben Winkel auf zwei Linealen. 30° und etwa 0.5236 Radiant sind dasselbe Kreissegment, nur in verschiedenen Einheiten gemessen.