الجيب وجيب التمام والظل نسب تربط زاوية بأضلاع مثلث قائم. الجيب هو المقابل على الوتر، وجيب التمام هو المجاور على الوتر، والظل هو المقابل على المجاور، وهذا النمط وراء المُختصر التذكيري SOH-CAH-TOA. النسب الثلاث نفسها تمتد لأي زاوية عبر دائرة الوحدة.

أهم النقاط

في وضع الدرجات sin(30) → 0.5، وcos(60) → 0.5، وtan(45) → 1.

sin(90) → 1، لأنه عند ربع دورة يساوي الضلع المقابل الوتر.

يفترض الموقع وضع الدرجات افتراضيًا؛ وفي وضع الراديان تعيد sin(30) حوالي -0.988، لأن 30 تعني راديان هناك.

asin(0.5) → 30 وatan(1) → 45 تستعيدان الزوايا من النسب.

SOH-CAH-TOA والمثلث القائم

في مثلث قائم، الضلع المقابل للزاوية القائمة هو الوتر، والضلعان المتبقيان يُسمّيان نسبةً إلى زاوية مختارة. الضلع المواجه للزاوية هو الضلع المقابل؛ والضلع الذي يلامس الزاوية وليس الوتر هو الضلع المجاور. النسب الثلاث تنبع مباشرة من هذه الأسماء:

SOH: الجيب = المقابل ÷ الوتر.
CAH: جيب التمام = المجاور ÷ الوتر.
TOA: الظل = المقابل ÷ المجاور.

مثال محلول 1: مثلث بزاوية 30° ووتر طوله 10. الجيب يعطي الضلع المقابل: المقابل = 10 × sin(30°) = 10 × 0.5 = 5. جيب التمام يعطي الضلع المجاور: المجاور = 10 × cos(30°) ≈ 10 × 0.8660254 = 8.660254. مع ضبط الآلة الحاسبة على وضع الدرجات، 10sin(30) → = 5 و10cos(30) → = 8.660254.... الظل يربط الضلعين معًا: tan(30°) = 5 ÷ 8.660254 ≈ 0.5774.

دائرة الوحدة تمدّد الدوال

صورة المثلث القائم تعمل فقط للزوايا حتى 90°، لأنه بعد ذلك لا يوجد مثلث قائم لرسمه. دائرة الوحدة تزيل هذا الحد. ارسم دائرة نصف قطرها 1 حول نقطة الأصل واختر نقطة عليها؛ الإحداثي السيني هو جيب تمام الزاوية من المحور السيني الموجب، والإحداثي الصادي هو الجيب. الظل يبقى sin ÷ cos. يجمع مرجع حساب المثلثات المتطابقات وجداول القيم التي تتضمّنها هذه الدائرة.

قيم دقيقة تستحق المعرفة

مجموعة صغيرة من الزوايا تتكرر باستمرار، وقيمها دقيقة:

sin(0°) = 0، sin(30°) = 1/2، sin(45°) = √2/2، sin(60°) = √3/2، sin(90°) = 1.
cos(0°) = 1، cos(30°) = √3/2، cos(45°) = √2/2، cos(60°) = 1/2، cos(90°) = 0.
tan(45°) = 1، tan(30°) ≈ 0.5774، وtan(90°) غير معرّفة لأنها تقسم على cos(90°) = 0.

مثال محلول 2: مثلث 45-45-90. المثلث القائم متساوي الساقين له ضلعان متساويان، لذا المقابل والمجاور متساويان وtan(45°) = 1. وتره يساوي √2 مضروبًا في ضلع، وهذا سبب sin(45°) = cos(45°) = 1/√2 ≈ 0.7071.

دوال حساب المثلثات العكسية

الدوال العكسية تجيب عن السؤال المعاكس: بمعرفة نسبة، أي زاوية أنتجتها. asin معكوس الجيب، وacos معكوس جيب التمام، وatan معكوس الظل. تعود الإجابة بحسب وضع الزاوية الذي ضُبطت عليه الآلة الحاسبة.

مثال محلول 3: استعادة زاوية. asin(0.5) في وضع الدرجات → = 30، وatan(1) → = 45. تحقق من الاتجاه الأمامي للتأكيد: sin(30) → = 0.5 وtan(45) → = 1. رحلات ذهاب وإياب كهذه طريقة سريعة للتحقق من الوضع الذي عليه المفتاح.

الدرجات مقابل الراديان

الدرجات تقسّم الدورة الكاملة إلى 360 جزءًا، مناسبة للزوايا اليومية. الراديان يقيس الزاوية بالقوس الذي تقطعه على دائرة الوحدة، لذا فإن الدورة الكاملة هي 2π. يفترض الموقع وضع الدرجات، وتبدّل بمفتاح التبديل DEG/RAD. الاختيار يغيّر كيف تقرأ كل دالة مثلثية الرقم الذي تكتبه: في وضع الراديان تعيد sin(30) جيب 30 راديان، حوالي -0.988، وليس 0.5. يشرح دليل الدرجات مقابل الراديان الوحدتين بالكامل، ويغطي منشورا الدرجات مقابل الراديان وشرح باي سبب كون π/2 راديان زاوية قائمة بالضبط.

أين يظهر حساب المثلثات

يجد المساحون ارتفاعات المباني من مسافة معروفة واحدة وظل أو جيب واحد. يعبّر المهندسون المدنيون عن ميول الطرق ومنحدراتها كظلال. الصوت والضوء والراديو تنتقل كموجات جيبية. كل من هذه التطبيقات يختزل إلى زاوية وضلع ودالة مثلثية يمكنك كتابتها. يسرد مرجع دوال الآلة الحاسبة كل مفتاح مثلثي وكيف يؤثّر عليه مفتاح التبديل DEG/RAD.

الأسئلة الشائعة

هل أترك الآلة الحاسبة على وضع الدرجات أم الراديان؟

للزوايا اليومية المقاسة بالدرجات، اتركها على وضع الدرجات، وهو الافتراضي. بدّل إلى الراديان عند العمل بطول القوس أو دائرة الوحدة أو التفاضل والتكامل، حيث تفترض الصيغ قياس الراديان.

لماذا tan(90°) غير معرّفة؟

الظل هو sin ÷ cos. بما أن cos(90°) = 0، فإن القسمة ليس لها قيمة منتهية، ومنحنى الظل يرتفع دون نهاية دون أن يستقر على رقم عند 90°.

ماذا تعني SOH-CAH-TOA؟

الجيب هو المقابل على الوتر، وجيب التمام هو المجاور على الوتر، والظل هو المقابل على المجاور. الحرف الأول من كل كلمة إنجليزية يشكّل المُختصر التذكيري.

لماذا تعرض آلتي الحاسبة sin(30) = -0.988 بدلًا من 0.5؟

لأنها في وضع الراديان. بالراديان، المُدخل 30 يعني 30 راديان، وليس 30 درجة. بدّل المفتاح إلى وضع الدرجات فتصبح sin(30) → = 0.5.