Seno, coseno e tangente sono rapporti che legano un angolo ai lati di un triangolo rettangolo. Il seno è cateto opposto su ipotenusa, il coseno è cateto adiacente su ipotenusa, e la tangente è cateto opposto su cateto adiacente, lo schema dietro il mnemonico SOH-CAH-TOA. Gli stessi tre rapporti si estendono a qualsiasi angolo attraverso il cerchio unitario.

Punti chiave

In modalità DEG sin(30) → 0,5, cos(60) → 0,5, e tan(45) → 1.

sin(90) → 1, perché a un quarto di giro il cateto opposto equivale all’ipotenusa.

Il sito ha come predefinita DEG; in modalità RAD sin(30) restituisce circa -0,988, perché lì 30 significa radianti.

asin(0.5) → 30 e atan(1) → 45 recuperano gli angoli a partire dai rapporti.

SOH-CAH-TOA e il triangolo rettangolo

In un triangolo rettangolo, il lato opposto all’angolo retto è l’ipotenusa, e i due lati rimanenti prendono il nome rispetto a un angolo scelto. Il lato che fronteggia l’angolo è il cateto opposto; il lato che tocca l’angolo e non è l’ipotenusa è il cateto adiacente. I tre rapporti derivano direttamente da questi nomi:

SOH: seno = opposto ÷ ipotenusa.
CAH: coseno = adiacente ÷ ipotenusa.
TOA: tangente = opposto ÷ adiacente.

Esempio svolto 1: un triangolo di 30° con ipotenusa 10. Il seno dà il cateto opposto: opposto = 10 × sin(30°) = 10 × 0,5 = 5. Il coseno dà il cateto adiacente: adiacente = 10 × cos(30°) ≈ 10 × 0,8660254 = 8,660254. Con la calcolatrice in DEG, 10sin(30) → = 5 e 10cos(30) → = 8,660254.... La tangente lega insieme i due lati: tan(30°) = 5 ÷ 8,660254 ≈ 0,5774.

Il cerchio unitario estende le funzioni

L’immagine del triangolo rettangolo funziona solo per angoli fino a 90°, perché oltre quel valore non c’è più un triangolo rettangolo da disegnare. Il cerchio unitario rimuove quel limite. Disegna un cerchio di raggio 1 attorno all’origine e scegli un punto su di esso; la coordinata x è il coseno dell’angolo rispetto al semiasse x positivo, e la coordinata y è il seno. La tangente resta sin ÷ cos. Il riferimento di trigonometria raccoglie le identità e le tabelle di valori che questo cerchio implica.

Valori esatti da conoscere

Un piccolo gruppo di angoli ricorre costantemente, e i loro valori sono esatti:

sin(0°) = 0, sin(30°) = 1/2, sin(45°) = √2/2, sin(60°) = √3/2, sin(90°) = 1.
cos(0°) = 1, cos(30°) = √3/2, cos(45°) = √2/2, cos(60°) = 1/2, cos(90°) = 0.
tan(45°) = 1, tan(30°) ≈ 0,5774, e tan(90°) è indefinito perché divide per cos(90°) = 0.

Esempio svolto 2: il triangolo 45-45-90. Un triangolo rettangolo isoscele ha due cateti uguali, quindi opposto e adiacente sono uguali e tan(45°) = 1. La sua ipotenusa è √2 volte un cateto, ed è per questo che sin(45°) = cos(45°) = 1/√2 ≈ 0,7071.

Le funzioni trigonometriche inverse

Le funzioni inverse rispondono alla domanda opposta: dato un rapporto, quale angolo lo ha prodotto. asin è l’inversa del seno, acos del coseno, e atan della tangente. La risposta torna nella modalità angolare in cui è impostata la calcolatrice.

Esempio svolto 3: recuperare un angolo. asin(0.5) in DEG → = 30, e atan(1) → = 45. Verifica la direzione opposta per conferma: sin(30) → = 0,5 e tan(45) → = 1. Andate e ritorni come questo sono un modo rapido per verificare in quale modalità si trova l’interruttore.

Gradi contro radianti

I gradi dividono un giro completo in 360 parti, comodi per gli angoli quotidiani. I radianti misurano un angolo tramite l’arco che taglia sul cerchio unitario, quindi un giro completo è 2π. Il sito ha come predefinita DEG e si cambia con l’interruttore DEG/RAD. La scelta cambia come ogni funzione trigonometrica legge il numero che digiti: in modalità RAD sin(30) restituisce il seno di 30 radianti, circa -0,988, non 0,5. La guida gradi contro radianti spiega entrambe le unità in dettaglio, e gli articoli del blog su gradi contro radianti e pi greco spiegato trattano il motivo per cui π/2 radianti è esattamente un angolo retto.

Dove compare la trigonometria

I geometri ricavano l’altezza di un edificio da una distanza nota e una tangente o un seno. Gli ingegneri civili esprimono pendenze e inclinazioni stradali come tangenti. Suono, luce e radio viaggiano come onde sinusoidali. Ognuna di queste applicazioni si riduce a un angolo, un lato e una funzione trigonometrica che puoi digitare. Il riferimento delle funzioni della calcolatrice elenca ogni tasto trigonometrico e come lo influenza l’interruttore DEG/RAD.

Domande frequenti

Dovrei lasciare la calcolatrice in DEG o in RAD?

Per angoli quotidiani misurati in gradi, lasciala in DEG, che è la modalità predefinita. Passa a RAD quando lavori con la lunghezza dell’arco, il cerchio unitario, o l’analisi matematica, dove le formule presuppongono la misura in radianti.

Perché tan(90°) è indefinito?

La tangente è sin ÷ cos. Poiché cos(90°) = 0, la divisione non ha un valore finito, e la curva della tangente sale senza mai posarsi su un numero a 90°.

Cosa significa SOH-CAH-TOA?

Seno è Opposto su Ipotenusa, Coseno è Adiacente su Ipotenusa, Tangente è Opposto su Adiacente. La prima lettera di ogni parola compone il mnemonico.

Perché la mia calcolatrice mostra sin(30) = -0,988 invece di 0,5?

Perché è in modalità RAD. In radianti, l’input 30 significa 30 radianti, non 30 gradi. Passa l’interruttore su DEG e sin(30) → = 0,5.