삼각함수 가이드: 사인, 코사인, 탄젠트 설명

사인, 코사인, 탄젠트는 각도를 직각삼각형의 변에 연결하는 비율입니다. 사인은 대변 나누기 빗변, 코사인은 인접변 나누기 빗변, 탄젠트는 대변 나누기 인접변이며, 이것이 SOH-CAH-TOA라는 암기법의 근거입니다. 같은 세 비율은 단위원을 통해 모든 각도로 확장됩니다.

핵심 요약

• DEG 모드에서 sin(30) → 0.5, cos(60) → 0.5, tan(45) → 1.
• sin(90) → 1, 4분의 1 바퀴에서는 대변이 빗변과 같아지기 때문입니다.
• 이 사이트는 기본이 DEG입니다. RAD 모드에서는 sin(30)이 약 -0.988을 돌려주는데, 그곳에서는 30이 라디안을 뜻하기 때문입니다.
• asin(0.5) → 30, atan(1) → 45로 비율에서 각도를 되찾을 수 있습니다.

SOH-CAH-TOA와 직각삼각형

직각삼각형에서 직각과 마주보는 변이 빗변이고, 나머지 두 변은 선택한 각을 기준으로 이름이 정해집니다. 그 각과 마주보는 변이 대변이고, 각에 닿아 있으면서 빗변이 아닌 변이 인접변입니다. 세 비율은 이 이름들에서 바로 나옵니다.

• SOH: 사인 = 대변 ÷ 빗변.
• CAH: 코사인 = 인접변 ÷ 빗변.
• TOA: 탄젠트 = 대변 ÷ 인접변.

예제 1: 빗변이 10인 30° 삼각형. 사인은 대변을 알려줍니다: 대변 = 10 × sin(30°) = 10 × 0.5 = 5. 코사인은 인접변을 알려줍니다: 인접변 = 10 × cos(30°) ≈ 10 × 0.8660254 = 8.660254. 계산기를 DEG로 설정하면 10sin(30) → = 5, 10cos(30) → = 8.660254.... 탄젠트는 두 변을 하나로 묶습니다: tan(30°) = 5 ÷ 8.660254 ≈ 0.5774.

단위원이 함수를 확장합니다

직각삼각형만으로는 90°까지의 각도밖에 다룰 수 없는데, 그 이상에서는 그릴 수 있는 직각삼각형이 없기 때문입니다. 단위원은 이 한계를 없애 줍니다. 원점을 중심으로 반지름이 1인 원을 그리고 그 위에 한 점을 골라 보세요. x좌표는 양의 x축에서 잰 각도의 코사인이고, y좌표는 사인입니다. 탄젠트는 여전히 sin ÷ cos입니다. 삼각함수 참조표는 이 원이 함의하는 항등식과 값표를 모아 놓았습니다.

알아둘 만한 정확한 값들

몇몇 각도는 끊임없이 등장하며, 그 값은 정확합니다.

• sin(0°) = 0, sin(30°) = 1/2, sin(45°) = √2/2, sin(60°) = √3/2, sin(90°) = 1.
• cos(0°) = 1, cos(30°) = √3/2, cos(45°) = √2/2, cos(60°) = 1/2, cos(90°) = 0.
• tan(45°) = 1, tan(30°) ≈ 0.5774이며, tan(90°)는 cos(90°) = 0으로 나누게 되므로 정의되지 않습니다.

예제 2: 45-45-90 삼각형. 이등변 직각삼각형은 두 변의 길이가 같으므로 대변과 인접변이 같아서 tan(45°) = 1입니다. 빗변은 한 변의 √2배이며, 이것이 sin(45°) = cos(45°) = 1/√2 ≈ 0.7071인 이유입니다.

역삼각함수

역함수는 반대 질문에 답합니다: 어떤 비율이 주어졌을 때, 그 비율을 만든 각도는 무엇인가. asin은 사인의 역함수, acos는 코사인의 역함수, atan은 탄젠트의 역함수입니다. 답은 계산기가 설정된 각도 모드로 돌아옵니다.

예제 3: 각도 되찾기. DEG에서 asin(0.5) → = 30, atan(1) → = 45. 정방향으로 확인해 보세요: sin(30) → = 0.5, tan(45) → = 1. 이런 왕복 확인은 토글이 어느 모드에 있는지 빠르게 점검하는 방법입니다.

도(degree)와 라디안(radian)

도는 한 바퀴를 360개로 나누며, 일상적인 각도에 편리합니다. 라디안은 단위원에서 잘라낸 호의 길이로 각도를 측정하므로, 한 바퀴는 2π입니다. 이 사이트는 기본이 DEG이며 DEG/RAD 토글로 전환합니다. 이 선택은 입력한 숫자를 모든 삼각함수가 읽는 방식을 바꿉니다: RAD 모드에서 sin(30)은 30 라디안의 사인, 약 -0.988을 돌려주며 0.5가 아닙니다. 도와 라디안 가이드에서 두 단위를 자세히 설명하며, 도와 라디안과 원주율 π 설명 블로그 글에서는 π/2 라디안이 왜 정확히 직각인지 다룹니다.

삼각함수가 등장하는 곳

측량사는 알려진 한 거리와 탄젠트나 사인 하나로 건물 높이를 구합니다. 토목 기술자는 도로 경사와 비탈을 탄젠트로 표현합니다. 소리, 빛, 전파는 사인파로 이동합니다. 이런 응용들은 결국 각도, 변, 그리고 입력할 수 있는 삼각함수 하나로 귀결됩니다. 계산기 함수 참조표에는 모든 삼각함수 키와 DEG/RAD 토글이 각각에 미치는 영향이 정리되어 있습니다.

자주 묻는 질문

계산기를 DEG와 RAD 중 어느 쪽에 두어야 하나요?

도로 측정한 일상적인 각도라면 기본값인 DEG에 두세요. 호의 길이, 단위원, 또는 미적분처럼 공식이 라디안 단위를 전제로 하는 작업에서는 RAD로 전환하세요.

tan(90°)는 왜 정의되지 않나요?

탄젠트는 sin ÷ cos입니다. cos(90°) = 0이므로 나눗셈에 유한한 값이 없고, 탄젠트 곡선은 90°에서 어떤 숫자에도 도달하지 못한 채 위로 치솟습니다.

SOH-CAH-TOA는 무엇을 뜻하나요?

사인은 대변 나누기 빗변(Sine = Opposite over Hypotenuse), 코사인은 인접변 나누기 빗변(Cosine = Adjacent over Hypotenuse), 탄젠트는 대변 나누기 인접변(Tangent = Opposite over Adjacent)입니다. 각 단어의 첫 글자가 이 암기법을 이룹니다.

계산기에서 sin(30)이 왜 0.5가 아니라 -0.988로 나오나요?

RAD 모드이기 때문입니다. 라디안에서는 입력값 30이 30도가 아니라 30 라디안을 뜻합니다. 토글을 DEG로 바꾸면 sin(30) → = 0.5가 됩니다.