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三角函数指南：正弦、余弦与正切详解

通过单位圆和直角三角形讲解正弦、余弦、正切，涵盖 SOH-CAH-TOA、精确值、反三角函数以及度数与弧度的区别。

三角函数正弦余弦正切单位圆

· Akash Pandey

正弦、余弦和正切是把一个角度和直角三角形边长联系起来的比值。正弦是对边比斜边，余弦是邻边比斜边，正切是对边比邻边，这正是助记法 SOH-CAH-TOA 背后的规律。这三个比值通过单位圆可以推广到任意角度。

要点速览

  • 在 DEG 模式下，sin(30) → 0.5，cos(60) → 0.5，tan(45) → 1。
  • sin(90) → 1，因为在四分之一圈处，对边正好等于斜边。
  • 本站默认使用 DEG 模式；在 RAD 模式下，sin(30) 返回约 -0.988，因为此时的 30 表示弧度。
  • asin(0.5) → 30，atan(1) → 45，可以从比值反推出角度。

SOH-CAH-TOA 与直角三角形

在一个直角三角形中，正对直角的那条边叫斜边，另外两条边则相对于选定的角命名。面向该角的那条边是对边；与该角相邻、又不是斜边的那条边是邻边。这三个比值直接来自这些名称：

  • SOH：正弦 = 对边 ÷ 斜边。
  • CAH：余弦 = 邻边 ÷ 斜边。
  • TOA：正切 = 对边 ÷ 邻边。

示例一：一个斜边为 10、角度为 30° 的三角形。 正弦给出对边：对边 = 10 × sin(30°) = 10 × 0.5 = 5。余弦给出邻边：邻边 = 10 × cos(30°) ≈ 10 × 0.8660254 = 8.660254。在 DEG 模式下，10sin(30) → = 5，10cos(30) → = 8.660254...。正切把这两条边联系起来：tan(30°) = 5 ÷ 8.660254 ≈ 0.5774。

单位圆把这些函数扩展到任意角度

直角三角形的图示只适用于 90° 以内的角，超过这个范围就画不出直角三角形了。单位圆消除了这个限制。以原点为圆心画一个半径为 1 的圆，在圆上取一点：这一点的 x 坐标就是该角相对于正 x 轴的余弦值，y 坐标就是正弦值。正切依然等于 sin ÷ cos。三角函数参考整理了单位圆背后蕴含的全部恒等式和数值表。

值得记住的精确值

有一小组角度会反复出现，它们的值是精确的：

  • sin(0°) = 0，sin(30°) = 1/2，sin(45°) = √2/2，sin(60°) = √3/2，sin(90°) = 1。
  • cos(0°) = 1，cos(30°) = √3/2，cos(45°) = √2/2，cos(60°) = 1/2，cos(90°) = 0。
  • tan(45°) = 1，tan(30°) ≈ 0.5774，而 tan(90°) 没有定义，因为分母 cos(90°) = 0。

示例二：45-45-90 三角形。 一个等腰直角三角形有两条相等的直角边，所以对边和邻边相等，tan(45°) = 1。它的斜边是直角边的 √2 倍，这也是为什么 sin(45°) = cos(45°) = 1/√2 ≈ 0.7071。

反三角函数

反三角函数回答的是相反的问题：给定一个比值，是哪个角产生了它。asin 是正弦的反函数，acos 是余弦的反函数，atan 是正切的反函数。返回的角度会以计算器当前设置的角度模式给出。

示例三：反推角度。 在 DEG 模式下，asin(0.5) → = 30，atan(1) → = 45。反向验证一下：sin(30) → = 0.5，tan(45) → = 1。这种来回验证是快速确认切换开关处于哪个模式的好办法。

度数与弧度

度数把一整圈分成 360 份，用于日常角度非常方便。弧度用单位圆上截出的弧长来度量角度，所以一整圈是 2π。本站默认使用 DEG 模式，可以用 DEG/RAD 切换开关来改变。这个选择会改变每个三角函数如何解读你输入的数字：在 RAD 模式下，sin(30) 返回的是 30 弧度的正弦值，约为 -0.988，而不是 0.5。度数与弧度指南对两种单位做了完整说明，博客文章度数与弧度和圆周率详解也解释了为什么 π/2 弧度正好是一个直角。

三角函数出现在哪些地方

测量员根据一个已知距离和一个正切或正弦值来求出建筑物的高度。土木工程师用正切来表示道路的坡度和斜率。声音、光和无线电都以正弦波的形式传播。这些应用最终都归结为一个角度、一条边和一个可以直接在键盘上输入的三角函数。计算器函数参考列出了每一个三角函数键，以及 DEG/RAD 开关对它的影响。

常见问题

计算器应该留在 DEG 还是 RAD 模式？

对于日常用度数度量的角度，保持默认的 DEG 模式。当需要处理弧长、单位圆或微积分等假定使用弧度制的公式时，切换到 RAD 模式。

为什么 tan(90°) 没有定义？

正切等于 sin ÷ cos。由于 cos(90°) = 0，这个除法没有有限的值，所以正切曲线在 90° 处会一路上冲，永远落不到某个具体数字上。

SOH-CAH-TOA 代表什么？

正弦是对边比斜边（Sine is Opposite over Hypotenuse），余弦是邻边比斜边（Cosine is Adjacent over Hypotenuse），正切是对边比邻边（Tangent is Opposite over Adjacent）。每个单词的首字母拼成了这个助记词。

为什么我的计算器显示 sin(30) = -0.988，而不是 0.5？

因为它处于 RAD 模式。在弧度制下，输入的 30 表示 30 弧度，而不是 30 度。把开关切换到 DEG，sin(30) → = 0.5。