サイン、コサイン、タンジェントは、角度を直角三角形の辺と結びつける比です。サインは対辺÷斜辺、コサインは隣辺÷斜辺、タンジェントは対辺÷隣辺で、これがSOH-CAH-TOAという語呂合わせの背景にあるパターンです。同じ3つの比は単位円を通じてどんな角度にも拡張されます。

要点まとめ

DEGモードで sin(30) → 0.5、cos(60) → 0.5、tan(45) → 1。

sin(90) → 1。4分の1回転では対辺が斜辺と等しくなるからです。

このサイトはDEGがデフォルトです。RADモードでは sin(30) は約-0.988を返します。そこでは30がラジアンを意味するからです。

asin(0.5) → 30、atan(1) → 45。これらは比から角度を復元します。

SOH-CAH-TOAと直角三角形

直角三角形では、直角に向かい合う辺が斜辺で、残りの2辺は選んだ角度を基準にして名付けられます。角度に向かい合う辺が対辺、角度に接していて斜辺ではない辺が隣辺です。この3つの比は、これらの名前からそのまま導かれます。

SOH: サイン = 対辺 ÷ 斜辺。
CAH: コサイン = 隣辺 ÷ 斜辺。
TOA: タンジェント = 対辺 ÷ 隣辺。

計算例1: 斜辺10の30°の三角形。 サインは対辺を与えます。対辺 = 10 × sin(30°) = 10 × 0.5 = 5。コサインは隣辺を与えます。隣辺 = 10 × cos(30°) ≈ 10 × 0.8660254 = 8.660254。電卓をDEGにすると、10sin(30) → = 5、10cos(30) → = 8.660254...。タンジェントはこの2辺を結びつけます。tan(30°) = 5 ÷ 8.660254 ≈ 0.5774。

単位円が関数を拡張する

直角三角形による考え方は90°までしか通用しません。それを超えると描ける直角三角形が存在しないからです。単位円はその制限を取り除きます。原点を中心とした半径1の円を描き、その上に点を取ります。x座標はx軸正方向からの角度のコサインで、y座標がサインです。タンジェントは依然として sin ÷ cos です。三角関数リファレンスには、この円が示唆する恒等式と値の表がまとめられています。

覚えておく価値のある正確な値

一部の角度は繰り返し登場し、その値は正確です。

sin(0°) = 0、sin(30°) = 1/2、sin(45°) = √2/2、sin(60°) = √3/2、sin(90°) = 1。
cos(0°) = 1、cos(30°) = √3/2、cos(45°) = √2/2、cos(60°) = 1/2、cos(90°) = 0。
tan(45°) = 1、tan(30°) ≈ 0.5774、tan(90°) は cos(90°) = 0 で割ることになるため未定義です。

計算例2: 45-45-90の三角形。 二等辺直角三角形は2つの等しい辺を持つので、対辺と隣辺が等しくなり tan(45°) = 1 です。その斜辺は1辺の √2 倍なので、sin(45°) = cos(45°) = 1/√2 ≈ 0.7071 になります。

逆三角関数

逆三角関数は逆の問いに答えます。ある比が与えられたとき、それを生んだ角度は何かということです。asin はサインの逆、acos はコサインの逆、atan はタンジェントの逆です。答えは電卓が設定されている角度モードに従って返されます。

計算例3: 角度を復元する。 DEGモードで asin(0.5) → = 30、atan(1) → = 45。順方向を確認してみましょう。sin(30) → = 0.5、tan(45) → = 1。こうした往復計算は、トグルがどちらのモードになっているかを素早く確認する方法です。

度とラジアンの違い

度は1回転を360等分するもので、日常の角度に便利です。ラジアンは単位円上で切り取る弧の長さで角度を測るので、1回転は 2π になります。このサイトはDEGがデフォルトで、DEG/RADトグルで切り替えます。この選択は、入力した数値をすべての三角関数がどう読むかを変えます。RADモードでは sin(30) は30ラジアンのサインを返し、約-0.988になります。0.5 にはなりません。度とラジアンのガイドではこの2つの単位を完全に解説しており、ブログ記事の度とラジアンと円周率の解説では、なぜ π/2 ラジアンがちょうど直角になるのかを扱っています。

三角関数が登場する場面

測量士は、1つの既知の距離と1つのタンジェントまたはサインから建物の高さを求めます。土木技術者は道路の勾配や斜面をタンジェントとして表します。音、光、電波はサイン波として伝わります。これらの応用はどれも、角度、辺、そして入力できる三角関数の組み合わせに帰着します。電卓関数リファレンスには、すべての三角関数キーとDEG/RADトグルがそれにどう影響するかが一覧化されています。

よくある質問

電卓はDEGとRADのどちらにしておくべきですか?

日常的な度単位の角度にはDEGのままにしておいてください。これがデフォルトです。弧の長さ、単位円、微積分など、公式がラジアン測定を前提としている場面ではRADに切り替えます。

なぜtan(90°)は未定義なのですか?

タンジェントは sin ÷ cos です。cos(90°) = 0 なので、この割り算には有限の値がなく、タンジェントの曲線は90°で決してある数値に落ち着くことなく上昇し続けます。

SOH-CAH-TOAは何を表していますか?

サインは対辺÷斜辺(Sine is Opposite over Hypotenuse)、コサインは隣辺÷斜辺(Cosine is Adjacent over Hypotenuse)、タンジェントは対辺÷隣辺(Tangent is Opposite over Adjacent)です。それぞれの単語の頭文字がこの語呂合わせを作っています。

なぜ私の電卓はsin(30)を0.5ではなく-0.988と表示するのですか?

RADモードになっているからです。ラジアンでは、入力の30は30度ではなく30ラジアンを意味します。トグルをDEGに切り替えると、sin(30) → = 0.5 になります。