Sinus, Kosinus und Tangens sind Verhältnisse, die einen Winkel mit den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks verbinden. Der Sinus ist Gegenkathete durch Hypotenuse, der Kosinus ist Ankathete durch Hypotenuse und der Tangens ist Gegenkathete durch Ankathete, das Muster hinter der Eselsbrücke SOH-CAH-TOA. Dieselben drei Verhältnisse lassen sich über den Einheitskreis auf jeden Winkel ausdehnen.

Die wichtigsten Punkte

Im Grad-Modus ergibt sin(30) → 0.5, cos(60) → 0.5 und tan(45) → 1.

sin(90) → 1, denn bei einer Vierteldrehung ist die Gegenkathete so lang wie die Hypotenuse.

Die Seite ist standardmäßig auf DEG eingestellt; im RAD-Modus liefert sin(30) etwa -0.988, denn dort bedeutet 30 Bogenmaß.

asin(0.5) → 30 und atan(1) → 45 holen die Winkel aus den Verhältnissen zurück.

SOH-CAH-TOA und das rechtwinklige Dreieck

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Seite gegenüber dem rechten Winkel die Hypotenuse, und die beiden übrigen Seiten werden relativ zu einem gewählten Winkel benannt. Die Seite, die dem Winkel gegenüberliegt, ist die Gegenkathete. Die Seite, die den Winkel berührt und nicht die Hypotenuse ist, ist die Ankathete. Aus diesen Namen fallen die drei Verhältnisse direkt heraus:

SOH: Sinus = Gegenkathete ÷ Hypotenuse.
CAH: Kosinus = Ankathete ÷ Hypotenuse.
TOA: Tangens = Gegenkathete ÷ Ankathete.

Durchgerechnetes Beispiel 1: ein 30°-Dreieck mit Hypotenuse 10. Der Sinus liefert die Gegenkathete: Gegenkathete = 10 × sin(30°) = 10 × 0.5 = 5. Der Kosinus liefert die Ankathete: Ankathete = 10 × cos(30°) ≈ 10 × 0.8660254 = 8.660254. Mit dem Rechner im Grad-Modus ergibt 10sin(30) → = 5 und 10cos(30) → = 8.660254.... Der Tangens verbindet die beiden Seiten: tan(30°) = 5 ÷ 8.660254 ≈ 0.5774.

Der Einheitskreis erweitert die Funktionen

Das Bild vom rechtwinkligen Dreieck funktioniert nur für Winkel bis 90°, denn darüber lässt sich kein rechtwinkliges Dreieck mehr zeichnen. Der Einheitskreis hebt diese Grenze auf. Zeichne einen Kreis mit Radius 1 um den Ursprung und wähle einen Punkt darauf; die x-Koordinate ist der Kosinus des Winkels von der positiven x-Achse und die y-Koordinate der Sinus. Der Tangens ist weiterhin sin ÷ cos. Die Trigonometrie-Referenz sammelt die Identitäten und Werttabellen, die dieser Kreis vorgibt.

Exakte Werte, die man kennen sollte

Eine kleine Menge von Winkeln taucht ständig auf, und ihre Werte sind exakt:

sin(0°) = 0, sin(30°) = 1/2, sin(45°) = √2/2, sin(60°) = √3/2, sin(90°) = 1.
cos(0°) = 1, cos(30°) = √3/2, cos(45°) = √2/2, cos(60°) = 1/2, cos(90°) = 0.
tan(45°) = 1, tan(30°) ≈ 0.5774, und tan(90°) ist nicht definiert, weil dort durch cos(90°) = 0 geteilt wird.

Durchgerechnetes Beispiel 2: das 45-45-90-Dreieck. Ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck hat zwei gleich lange Katheten, also sind Gegenkathete und Ankathete gleich und tan(45°) = 1. Seine Hypotenuse ist √2 mal eine Kathete, weshalb sin(45°) = cos(45°) = 1/√2 ≈ 0.7071 ist.

Arkusfunktionen

Die Umkehrfunktionen beantworten die umgekehrte Frage: Welcher Winkel hat ein gegebenes Verhältnis erzeugt? asin ist die Umkehrung des Sinus, acos die des Kosinus und atan die des Tangens. Die Antwort kommt in dem Winkelmodus zurück, auf den der Rechner gerade eingestellt ist.

Durchgerechnetes Beispiel 3: einen Winkel zurückgewinnen. asin(0.5) im Grad-Modus → = 30, und atan(1) → = 45. Prüfe die Vorwärtsrichtung zur Bestätigung: sin(30) → = 0.5 und tan(45) → = 1. Rundwege wie dieser sind ein schnelles Mittel, um zu prüfen, in welchem Modus der Schalter steht.

Grad versus Bogenmaß

Grad teilen eine volle Umdrehung in 360 Teile, praktisch für alltägliche Winkel. Bogenmaß misst einen Winkel über den Bogen, den er auf dem Einheitskreis abschneidet, also ist eine volle Umdrehung 2π. Die Seite ist standardmäßig auf DEG eingestellt, und der Wechsel erfolgt über den DEG/RAD-Schalter. Diese Wahl ändert, wie jede trigonometrische Funktion die eingegebene Zahl liest: Im RAD-Modus liefert sin(30) den Sinus von 30 Radiant, etwa -0.988, nicht 0.5. Der Leitfaden Grad vs. Bogenmaß erklärt beide Einheiten ausführlich, und die Blogbeiträge zu Grad vs. Bogenmaß und Pi erklärt behandeln, warum π/2 Radiant exakt ein rechter Winkel ist.

Wo Trigonometrie auftaucht

Vermesser bestimmen Gebäudehöhen aus einer bekannten Entfernung und einem Tangens oder Sinus. Bauingenieure geben Straßenneigungen und Steigungen als Tangens an. Schall, Licht und Funk breiten sich als Sinuswellen aus. Jede dieser Anwendungen führt auf einen Winkel, eine Seite und eine trigonometrische Funktion, die du eintippen kannst. Die Referenz der Rechnerfunktionen listet jede Trigonometrie-Taste und wie der DEG/RAD-Schalter sie beeinflusst.

Häufig gestellte Fragen

Soll ich den Rechner auf DEG oder RAD lassen?

Für alltägliche Winkel in Grad lasse ihn auf DEG, der Standardeinstellung. Wechsle zu RAD, wenn du mit Bogenlänge, dem Einheitskreis oder der Infinitesimalrechnung arbeitest, denn dort setzen die Formeln Bogenmaß voraus.

Warum ist tan(90°) nicht definiert?

Der Tangens ist sin ÷ cos. Da cos(90°) = 0 ist, hat die Division keinen endlichen Wert, und die Tangenskurve schießt nach oben, ohne bei 90° auf einer Zahl zu landen.

Wofür steht SOH-CAH-TOA?

Sinus ist Gegenkathete durch Hypotenuse, Kosinus ist Ankathete durch Hypotenuse, Tangens ist Gegenkathete durch Ankathete. Die Anfangsbuchstaben ergeben die Eselsbrücke.

Warum zeigt mein Rechner sin(30) = -0.988 statt 0.5?

Weil er im RAD-Modus steht. Im Bogenmaß bedeutet die Eingabe 30 Radiant, nicht 30 Grad. Umschalten auf DEG und sin(30) → = 0.5.