Seno, coseno y tangente son razones que relacionan un ángulo con los lados de un triángulo rectángulo. El seno es opuesto entre hipotenusa, el coseno es adyacente entre hipotenusa y la tangente es opuesto entre adyacente, el patrón que está detrás de la regla mnemotécnica SOH-CAH-TOA. Esas mismas tres razones se extienden a cualquier ángulo por medio del círculo unitario.

Ideas clave

En modo DEG sin(30) → 0.5, cos(60) → 0.5 y tan(45) → 1.

sin(90) → 1, porque en un cuarto de vuelta el lado opuesto iguala a la hipotenusa.

El sitio se abre por defecto en DEG; en modo RAD sin(30) devuelve unos -0.988, porque ahí 30 son radianes.

asin(0.5) → 30 y atan(1) → 45 recuperan los ángulos a partir de las razones.

SOH-CAH-TOA y el triángulo rectángulo

En un triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto es la hipotenusa, y los otros dos lados se nombran en relación con el ángulo elegido. El lado que mira al ángulo es el lado opuesto; el lado que toca el ángulo y no es la hipotenusa es el lado adyacente. Las tres razones salen directamente de esos nombres:

SOH: seno = opuesto ÷ hipotenusa.
CAH: coseno = adyacente ÷ hipotenusa.
TOA: tangente = opuesto ÷ adyacente.

Ejemplo resuelto 1: un triángulo de 30° con hipotenusa 10. El seno da el lado opuesto: opuesto = 10 × sin(30°) = 10 × 0.5 = 5. El coseno da el lado adyacente: adyacente = 10 × cos(30°) ≈ 10 × 0.8660254 = 8.660254. Con la calculadora en DEG, 10sin(30) → = 5 y 10cos(30) → = 8.660254.... La tangente une los dos lados: tan(30°) = 5 ÷ 8.660254 ≈ 0.5774.

El círculo unitario extiende las funciones

La imagen del triángulo rectángulo solo sirve para ángulos de hasta 90°, porque más allá no hay triángulo rectángulo que dibujar. El círculo unitario quita ese límite. Dibuja un círculo de radio 1 alrededor del origen y elige un punto sobre él; la coordenada x es el coseno del ángulo medido desde el eje x positivo, y la coordenada y es el seno. La tangente sigue siendo sin ÷ cos. La referencia de trigonometría recoge las identidades y las tablas de valores que implica ese círculo.

Valores exactos que conviene saber

Un pequeño conjunto de ángulos aparece constantemente, y sus valores son exactos:

sin(0°) = 0, sin(30°) = 1/2, sin(45°) = √2/2, sin(60°) = √3/2, sin(90°) = 1.
cos(0°) = 1, cos(30°) = √3/2, cos(45°) = √2/2, cos(60°) = 1/2, cos(90°) = 0.
tan(45°) = 1, tan(30°) ≈ 0.5774, y tan(90°) no está definida porque divide entre cos(90°) = 0.

Ejemplo resuelto 2: el triángulo 45-45-90. Un triángulo rectángulo isósceles tiene dos catetos iguales, así que opuesto y adyacente son iguales y tan(45°) = 1. Su hipotenusa es √2 veces un cateto, por eso sin(45°) = cos(45°) = 1/√2 ≈ 0.7071.

Funciones trigonométricas inversas

Las funciones inversas responden a la pregunta contraria: dada una razón, ¿qué ángulo la produjo? asin es la inversa del seno, acos la del coseno y atan la de la tangente. La respuesta vuelve en el modo de ángulo en el que esté la calculadora.

Ejemplo resuelto 3: recuperar un ángulo. asin(0.5) en DEG → = 30, y atan(1) → = 45. Comprueba el sentido directo para confirmarlo: sin(30) → = 0.5 y tan(45) → = 1. Idas y vueltas así son una manera rápida de verificar en qué modo está el interruptor.

Grados frente a radianes

Los grados dividen una vuelta completa en 360 partes, algo cómodo para los ángulos de la vida cotidiana. Los radianes miden un ángulo por el arco que traza sobre el círculo unitario, así que una vuelta completa son 2π. El sitio se abre por defecto en DEG y cambias con el interruptor DEG/RAD. La elección cambia cómo lee cada función trigonométrica el número que escribes: en modo RAD sin(30) devuelve el seno de 30 radianes, unos -0.988, no 0.5. La guía de grados frente a radianes explica las dos unidades en detalle, y las entradas sobre grados frente a radianes y pi explicado cubren por qué π/2 radianes es exactamente un ángulo recto.

Dónde aparece la trigonometría

Los topógrafos calculan alturas de edificios a partir de una distancia conocida y una tangente o un seno. Los ingenieros civiles expresan las pendientes de carreteras como tangentes. El sonido, la luz y la radio viajan como ondas senoidales. Cada una de esas aplicaciones se reduce a un ángulo, un lado y una función trigonométrica que puedes teclear. La referencia de funciones de la calculadora enumera todas las teclas trigonométricas y cómo las afecta el interruptor DEG/RAD.

Preguntas frecuentes

¿Debo dejar la calculadora en DEG o en RAD?

Para los ángulos cotidianos medidos en grados, déjala en DEG, que es el valor por defecto. Cambia a RAD cuando trabajes con longitud de arco, el círculo unitario o cálculo, donde las fórmulas asumen la medida en radianes.

¿Por qué tan(90°) no está definida?

La tangente es sin ÷ cos. Como cos(90°) = 0, la división no tiene valor finito, y la curva de la tangente sube sin llegar nunca a un número en 90°.

¿Qué significa SOH-CAH-TOA?

El seno es el Opuesto entre la Hipotenusa, el coseno es el Adyacente entre la Hipotenusa y la tangente es el Opuesto entre el Adyacente. La primera letra de cada palabra forma la regla mnemotécnica.

¿Por qué mi calculadora muestra sin(30) = -0.988 en lugar de 0.5?

Porque está en modo RAD. En radianes la entrada 30 significa 30 radianes, no 30 grados. Cambia el interruptor a DEG y sin(30) → = 0.5.