Le sinus, le cosinus et la tangente sont des rapports qui relient un angle aux côtés d’un triangle rectangle. Le sinus est le côté opposé sur l’hypoténuse, le cosinus est le côté adjacent sur l’hypoténuse, et la tangente est le côté opposé sur le côté adjacent, le motif derrière le moyen mnémotechnique SOH-CAH-TOA. Les trois mêmes rapports s’étendent à n’importe quel angle grâce au cercle unité.

Points clés

En mode DEG sin(30) → 0.5, cos(60) → 0.5, et tan(45) → 1.

sin(90) → 1, car à un quart de tour le côté opposé égale l’hypoténuse.

Le site est réglé sur DEG par défaut ; en mode RAD sin(30) renvoie environ -0.988, parce que 30 signifie 30 radians là-bas.

asin(0.5) → 30 et atan(1) → 45 retrouvent les angles depuis les rapports.

SOH-CAH-TOA et le triangle rectangle

Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l’angle droit est l’hypoténuse, et les deux autres côtés se nomment par rapport à un angle choisi. Le côté qui fait face à l’angle est le côté opposé ; le côté qui touche l’angle et qui n’est pas l’hypoténuse est le côté adjacent. Les trois rapports découlent directement de ces noms :

SOH : sinus = opposé ÷ hypoténuse.
CAH : cosinus = adjacent ÷ hypoténuse.
TOA : tangente = opposé ÷ adjacent.

Exemple détaillé 1 : un triangle à 30° avec une hypoténuse de 10. Le sinus donne le côté opposé : opposé = 10 × sin(30°) = 10 × 0.5 = 5. Le cosinus donne le côté adjacent : adjacent = 10 × cos(30°) ≈ 10 × 0.8660254 = 8.660254. Avec la calculatrice en DEG, 10sin(30) → = 5 et 10cos(30) → = 8.660254.... La tangente relie les deux côtés : tan(30°) = 5 ÷ 8.660254 ≈ 0.5774.

Le cercle unité étend les fonctions

L’image du triangle rectangle ne fonctionne que pour des angles jusqu’à 90°, car au-delà il n’y a plus de triangle rectangle à dessiner. Le cercle unité lève cette limite. Dessinez un cercle de rayon 1 autour de l’origine et choisissez un point dessus ; la coordonnée x est le cosinus de l’angle depuis l’axe x positif, et la coordonnée y est le sinus. La tangente reste sin ÷ cos. La référence de trigonométrie rassemble les identités et les tables de valeurs que ce cercle implique.

Des valeurs exactes qui valent la peine d’être connues

Un petit ensemble d’angles revient constamment, et leurs valeurs sont exactes :

sin(0°) = 0, sin(30°) = 1/2, sin(45°) = √2/2, sin(60°) = √3/2, sin(90°) = 1.
cos(0°) = 1, cos(30°) = √3/2, cos(45°) = √2/2, cos(60°) = 1/2, cos(90°) = 0.
tan(45°) = 1, tan(30°) ≈ 0.5774, et tan(90°) n’est pas définie parce qu’elle divise par cos(90°) = 0.

Exemple détaillé 2 : le triangle 45-45-90. Un triangle rectangle isocèle a deux côtés égaux, donc opposé et adjacent sont égaux et tan(45°) = 1. Son hypoténuse vaut √2 fois un côté, c’est pourquoi sin(45°) = cos(45°) = 1/√2 ≈ 0.7071.

Les fonctions trigonométriques inverses

Les fonctions inverses répondent à la question en miroir : étant donné un rapport, quel angle l’a produit. asin est l’inverse du sinus, acos celle du cosinus, et atan celle de la tangente. La réponse revient dans le mode d’angle dans lequel la calculatrice est réglée.

Exemple détaillé 3 : retrouver un angle. asin(0.5) en DEG → = 30, et atan(1) → = 45. Vérifiez le sens direct pour confirmer : sin(30) → = 0.5 et tan(45) → = 1. Les allers-retours de ce genre sont un moyen rapide de vérifier dans quel mode se trouve l’interrupteur.

Degrés contre radians

Les degrés découpent un tour complet en 360 parts, pratiques pour les angles du quotidien. Les radians mesurent un angle par l’arc qu’il découpe sur le cercle unité, donc un tour complet vaut 2π. Le site est réglé sur DEG par défaut et vous basculez avec l’interrupteur DEG/RAD. Le choix change la façon dont chaque fonction trigonométrique lit le nombre tapé : en mode RAD, sin(30) renvoie le sinus de 30 radians, environ -0.988, pas 0.5. Le guide des degrés et des radians explique les deux unités en détail, et les articles degrés contre radians et pi expliqué couvrent pourquoi π/2 radians est exactement un angle droit.

Là où la trigonométrie apparaît

Les géomètres trouvent la hauteur d’un bâtiment à partir d’une distance connue et d’une tangente ou d’un sinus. Les ingénieurs en génie civil expriment les pentes et les inclinaisons de routes comme des tangentes. Le son, la lumière et la radio voyagent sous forme d’ondes sinusoïdales. Chacune de ces applications se résume à un angle, un côté et une fonction trigonométrique que vous pouvez taper. La référence des fonctions de la calculatrice liste chaque touche trigonométrique et comment l’interrupteur DEG/RAD les affecte.

Questions fréquentes

Dois-je laisser la calculatrice en DEG ou en RAD ?

Pour les angles du quotidien mesurés en degrés, laissez-la en DEG, qui est la valeur par défaut. Passez en RAD quand vous travaillez avec la longueur d’arc, le cercle unité ou le calcul infinitésimal, où les formules supposent la mesure en radians.

Pourquoi tan(90°) n’est-elle pas définie ?

La tangente est sin ÷ cos. Comme cos(90°) = 0, la division n’a aucune valeur finie, et la courbe de la tangente file vers le haut sans jamais atterrir sur un nombre à 90°.

Que signifie SOH-CAH-TOA ?

Sinus égale Opposé sur Hypoténuse, Cosinus égale Adjacent sur Hypoténuse, Tangente égale Opposé sur Adjacent. La première lettre de chaque mot épelle le moyen mnémotechnique.

Pourquoi ma calculatrice affiche-t-elle sin(30) = -0.988 au lieu de 0.5 ?

Parce qu’elle est en mode RAD. En radians, l’entrée 30 signifie 30 radians, pas 30 degrés. Basculez l’interrupteur sur DEG et sin(30) → = 0.5.