Seno, cosseno e tangente são razões que ligam um ângulo aos lados de um triângulo retângulo. Seno é oposto sobre hipotenusa, cosseno é adjacente sobre hipotenusa, e tangente é oposto sobre adjacente, o padrão por trás do mnemônico SOH-CAH-TOA. As mesmas três razões se estendem a qualquer ângulo por meio do círculo unitário.

Principais pontos

No modo DEG, sin(30) → 0.5, cos(60) → 0.5, e tan(45) → 1.

sin(90) → 1, porque em um quarto de volta o lado oposto se iguala à hipotenusa.

O site usa DEG por padrão; em modo RAD, sin(30) retorna cerca de -0.988, porque ali 30 significa radianos.

asin(0.5) → 30 e atan(1) → 45 recuperam os ângulos a partir das razões.

SOH-CAH-TOA e o triângulo retângulo

Em um triângulo retângulo, o lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa, e os outros dois lados recebem nomes relativos a um ângulo escolhido. O lado voltado para o ângulo é o lado oposto; o lado que toca o ângulo e não é a hipotenusa é o lado adjacente. As três razões saem diretamente desses nomes:

SOH: seno = oposto ÷ hipotenusa.
CAH: cosseno = adjacente ÷ hipotenusa.
TOA: tangente = oposto ÷ adjacente.

Exemplo resolvido 1: um triângulo de 30° com hipotenusa 10. O seno dá o lado oposto: oposto = 10 × sin(30°) = 10 × 0.5 = 5. O cosseno dá o lado adjacente: adjacente = 10 × cos(30°) ≈ 10 × 0.8660254 = 8.660254. Com a calculadora em DEG, 10sin(30) → = 5 e 10cos(30) → = 8.660254.... A tangente liga os dois lados: tan(30°) = 5 ÷ 8.660254 ≈ 0.5774.

O círculo unitário estende as funções

A representação por triângulo retângulo só funciona até 90°, porque além disso não há triângulo retângulo para desenhar. O círculo unitário remove esse limite. Desenhe um círculo de raio 1 ao redor da origem e escolha um ponto sobre ele; a coordenada x é o cosseno do ângulo a partir do eixo x positivo, e a coordenada y é o seno. A tangente continua sendo sin ÷ cos. A referência de trigonometria reúne as identidades e as tabelas de valores que esse círculo implica.

Valores exatos que vale a pena conhecer

Um pequeno conjunto de ângulos aparece constantemente, e seus valores são exatos:

sin(0°) = 0, sin(30°) = 1/2, sin(45°) = √2/2, sin(60°) = √3/2, sin(90°) = 1.
cos(0°) = 1, cos(30°) = √3/2, cos(45°) = √2/2, cos(60°) = 1/2, cos(90°) = 0.
tan(45°) = 1, tan(30°) ≈ 0.5774, e tan(90°) é indefinida porque divide por cos(90°) = 0.

Exemplo resolvido 2: o triângulo 45-45-90. Um triângulo retângulo isósceles tem dois catetos iguais, então oposto e adjacente são iguais e tan(45°) = 1. Sua hipotenusa é √2 vezes um cateto, o que explica por que sin(45°) = cos(45°) = 1/√2 ≈ 0.7071.

Funções trigonométricas inversas

As funções inversas respondem à pergunta reversa: dada uma razão, qual ângulo a produziu. asin é a inversa do seno, acos do cosseno, e atan da tangente. A resposta volta no modo de ângulo em que a calculadora estiver configurada.

Exemplo resolvido 3: recuperando um ângulo. asin(0.5) em DEG → = 30, e atan(1) → = 45. Confira o sentido direto para confirmar: sin(30) → = 0.5 e tan(45) → = 1. Idas e voltas como essa são uma forma rápida de verificar em que modo o alternador está.

Graus versus radianos

Graus dividem uma volta completa em 360 partes, convenientes para ângulos do dia a dia. Radianos medem um ângulo pelo arco que ele corta no círculo unitário, então uma volta completa é 2π. O site usa DEG por padrão e você troca com o alternador DEG/RAD. Essa escolha muda como toda função trigonométrica lê o número que você digita: em modo RAD, sin(30) retorna o seno de 30 radianos, cerca de -0.988, não 0.5. O guia de graus vs. radianos explica as duas unidades por completo, e os posts do blog sobre graus vs. radianos e pi explicado mostram por que π/2 radianos é exatamente um ângulo reto.

Onde a trigonometria aparece

Agrimensores descobrem a altura de prédios a partir de uma distância conhecida e uma tangente ou seno. Engenheiros civis expressam declives e inclinações de estradas como tangentes. Som, luz e rádio viajam como ondas senoidais. Cada uma dessas aplicações se resume a um ângulo, um lado e uma função trigonométrica que você pode digitar. A referência de funções da calculadora lista todas as teclas trigonométricas e como o alternador DEG/RAD as afeta.

Perguntas frequentes

Devo deixar a calculadora em DEG ou RAD?

Para ângulos do dia a dia medidos em graus, deixe em DEG, que é o padrão. Mude para RAD quando trabalhar com comprimento de arco, o círculo unitário ou cálculo, onde as fórmulas assumem medida em radianos.

Por que tan(90°) é indefinida?

A tangente é sin ÷ cos. Como cos(90°) = 0, a divisão não tem valor finito, e a curva da tangente dispara para cima sem nunca pousar em um número em 90°.

O que significa SOH-CAH-TOA?

Seno é Oposto sobre Hipotenusa, Cosseno é Adjacente sobre Hipotenusa, Tangente é Oposto sobre Adjacente. A primeira letra de cada palavra em inglês forma o mnemônico.

Por que minha calculadora mostra sin(30) = -0.988 em vez de 0.5?

Porque ela está em modo RAD. Em radianos, a entrada 30 significa 30 radianos, não 30 graus. Mude o alternador para DEG e sin(30) → = 0.5.