Die Reihenfolge der Operationen ist die Konvention, die entscheidet, welcher Teil eines Ausdrucks zuerst ausgewertet wird. Ohne sie könnte 12 + 7 × 3 als 33 oder 57 gelesen werden. Die Regel sagt 33, weil die Multiplikation vor der Addition kommt. PEMDAS und BODMAS lehren dieselbe Regel unter zwei Namen, und jeder Ausdrucks-Parser, einschließlich der auf diesem Rechner, wendet sie bei jedem Drücken von = an.
Die wichtigsten Punkte
12 + 7 × 3 = 33; mit Klammern ist(12 + 7) × 3 = 57.- Potenzen binden rechtsassoziativ:
2^3^2 = 512, während(2^3)^2 = 64.- Das unäre Minus bindet lockerer als eine Potenz:
−5^2 = −25, nicht 25.- Prozent als Postfix addiert seinen Anteil des früheren Werts:
200 + 10% = 220.
Die Regel in einer Tabelle
Die Schritte, in den USA als PEMDAS gelehrt und in Großbritannien und weiten Teilen des Commonwealth als BODMAS oder BIDMAS, sind:
| Schritt | PEMDAS | BODMAS | Bedeutung |
|---|---|---|---|
| 1 | Klammern | Klammern | Alles Eingeklammerte, innerste zuerst |
| 2 | Exponenten | Potenzen / Indizes | Potenzen und Wurzeln |
| 3 | Multiplikation & Division | Division & Multiplikation | Gleicher Rang, von links nach rechts |
| 4 | Addition & Subtraktion | Addition & Subtraktion | Gleicher Rang, von links nach rechts |
Die häufigste Fehllesung behandelt das Akronym als vier strikte Ebenen. Das ist es nicht. Die Multiplikation steht nicht über der Division, und die Addition nicht über der Subtraktion. Jedes Paar teilt einen Rang und wird von links nach rechts abgearbeitet, weshalb PEMDAS und BODMAS identische Antworten liefern, obwohl sie M und D in umgekehrter Reihenfolge auflisten. Der Leitfaden Reihenfolge der Operationen geht dieselbe Tabelle mit schrittweise gezeigtem Rechenweg durch.
Durchgerechnetes Beispiel 1: die klassische Falle
Die falsche Lesart. 12 + 7 × 3, strikt von links nach rechts berechnet, ergibt 19 × 3 = 57. Das ist nicht, was die Regel sagt.
Die richtige Lesart. Erst die Multiplikation: 7 × 3 = 21, dann 12 + 21 = 33.
Tippe 12+7*3, und der Rechner liefert 33. Um die eigene Ordnung zu erzwingen, setze Klammern: (12+7)*3 liefert 57. Der Rechner folgt der Mathematik, nicht der Reihenfolge deiner Eingabe. Dieselbe Logik gilt umgekehrt: 100 * 2 + 3 ist 203, während 100 * (2 + 3) 500 ist.
Wo die Akronyme Lücken lassen
Die vier Buchstaben decken die Grundlagen ab, aber drei übliche Fälle liegen außerhalb und bringen Menschen auf Taschenrechnern ins Stolpern.
Gestapelte Exponenten gruppieren von rechts nach links
Die Potenzierung ist der einzige Operator, der rechtsassoziativ bindet. 2^3^2 bedeutet 2^(3^2) = 2^9 = 512, nicht (2^3)^2 = 64. Der Unterschied ist groß, schreibe die Klammern also ausdrücklich. Der Beitrag Exponenten erklärt geht tiefer auf diese Gewohnheit ein.
Prozent ist ein Postfix-Operator
Die %-Taste teilt nicht einfach durch 100, wenn du sie nach einem Plus oder Minus anhängst. In 200 + 10% liest der Rechner den Prozentsatz als Anteil des früheren Werts: 200 × (1 + 0.1) = 220. Ebenso ergibt 100 - 20% 80 und 50 + 10% 55. Wenn du 10 Prozent von 200 als eigenständige Zahl willst, tippe 200*10%, und es liefert 20.
Stille Multiplikation sitzt auf dem normalen Rang
Dieser Rechner akzeptiert 2π und 3(4+1) ohne Malzeichen und behandelt sie als gewöhnliche Multiplikation. Einige Handheld-Rechner stufen stille Multiplikation höher ein, so dass 6÷2(1+2) auf diesen Geräten 1 und hier 9 ergibt. Es gibt keinen universellen Standard für diesen Fall. Die ehrliche Lösung sind Klammern. Der Prozent-Leitfaden und der Einstiegsleitfaden behandeln die zwei häufigsten Verwechslungen im täglichen Gebrauch.
Die Vorrangregeln, die dieser Rechner anwendet
Ausdrücke laufen durch den Parser von math.js, und die wirksame Priorität, von höchster zu niedrigster, ist:
| Vorrang | Operatoren | Assoziativität |
|---|---|---|
| 1 (höchster) | Klammern und Funktionsaufrufe | Innerste zuerst |
| 2 | Fakultät n!, Postfix-Prozent % |
Von links nach rechts |
| 3 | Potenzierung ^ |
Von rechts nach links |
| 4 | Unäres Minus und Plus | Von rechts nach links |
| 5 | Multiplikation, Division, Modulo | Von links nach rechts |
| 6 (niedrigster) | Addition, Subtraktion | Von links nach rechts |
Durchgerechnetes Beispiel 2: 2 + 3 × 4²
Folge der Tabelle von oben nach unten. Klammern: keine. Potenzen: 4² = 16. Multiplikation: 3 × 16 = 48. Addition: 2 + 48 = 50. Tippe 2+3*4^2, und du erhältst 50. Wenn ein Ausdruck sich nicht parsen lässt, erklärt der Leitfaden zu Fehlermeldungen, was jede Meldung bedeutet und wie du die Klammern reparierst.
Durchgerechnetes Beispiel 3: 200 + 10%
Das Prozent greift bei Schritt 2 der Tabelle, nach den Klammern und vor der Multiplikation. Also wird 200 + 10% als 200 × (1 + 0.10) = 220 ausgewertet. Tippe 200+10%, und der Rechner liefert 220. Diese Kurzschrift ist der Grund, warum 100 - 20% als ein 20-prozentiger Rabatt gelesen wird: 100 × (1 − 0.2) = 80.
Häufig gestellte Fragen
Ist PEMDAS oder BODMAS richtig?
Beide. Es sind zwei Eselsbrücken für dieselbe Konvention. Die Ordnung von D und M spielt keine Rolle, weil Multiplikation und Division gleichrangig sind und in beiden Fällen von links nach rechts abgearbeitet werden.
Was ist 8 ÷ 2 × 4?
- Division und Multiplikation teilen einen Rang, also werte von links nach rechts aus:
8 ÷ 2 = 4, dann4 × 4 = 16.
Was ist 200 + 10%?
- Der Prozentsatz wird als Anteil des früheren Werts genommen, also bedeutet der Ausdruck
200 × (1 + 0.1). Um ein Zehntel von 200 allein zu bekommen, tippe200*10%, was 20 zurückgibt.
Warum ergibt −5² −25?
Die Potenzierung bindet enger als das unäre Minus, also liest sich −5^2 als das Negative von 5². Schreibe (−5)^2, um die negative Zahl selbst zu quadrieren; das ergibt 25.
Was ist 6 ÷ 2(1 + 2)?
Dieser Rechner ergibt 9 und behandelt stille Multiplikation auf dem gewöhnlichen Multiplikationsrang. Einige Handheld-Rechner ergeben 1, indem sie diesen Rang anheben. Die Notation ist mehrdeutig, also ist die sichere Antwort, Klammern zu verwenden.