演算の優先順位とは、式のどの部分を先に計算するかを決める規約です。この規約がなければ、12 + 7 × 3 は33とも57とも読めてしまいます。規約が示す答えは33です。乗算が加算より先に行われるからです。PEMDASとBODMASは同じ規則を2つの名前で教えていて、この電卓の式解析エンジンを含め、あらゆる式パーサーが = を押すたびにこの規則を適用します。
要点まとめ
12 + 7 × 3 = 33。括弧を加えると(12 + 7) × 3 = 57になります。- べき乗は右から左に結合します。
2^3^2 = 512ですが、(2^3)^2 = 64です。- 単項マイナスはべき乗より緩く結合します。
−5^2 = −25であり、25ではありません。- 後置のパーセントは元の値に対する割合を加算します。
200 + 10% = 220です。
1つの表にまとめたルール
アメリカではPEMDAS、イギリスやコモンウェルスの多くの国ではBODMASあるいはBIDMASとして教えられる手順は次のとおりです。
| 手順 | PEMDAS | BODMAS | 意味 |
|---|---|---|---|
| 1 | 括弧(Parentheses) | 括弧(Brackets) | グループ化されたものすべて、内側から先に |
| 2 | 指数(Exponents) | 累乗・冪根(Orders / Indices) | べき乗と根号 |
| 3 | 乗算・除算 | 除算・乗算 | 同じ優先順位、左から右へ |
| 4 | 加算・減算 | 加算・減算 | 同じ優先順位、左から右へ |
よくある誤解は、この頭字語を4つの厳格な階層として捉えてしまうことです。実際はそうではありません。乗算は除算より優先されず、加算も減算より優先されません。それぞれのペアは同じ順位を共有し、左から右に処理されます。だからこそ、MとDの並び順が逆であっても、PEMDASとBODMASは同じ答えを導きます。演算の優先順位ガイドでは同じ表を、各ステップを示しながら解説しています。
計算例1: よくある落とし穴
誤った読み方。 12 + 7 × 3 を厳密に左から右へ計算すると 19 × 3 = 57 になります。これは規則が示す答えではありません。
正しい読み方。 まず乗算です。7 × 3 = 21、次に 12 + 21 = 33。
12+7*3 と入力すると、電卓は 33 を返します。自分の意図した順序を強制したい場合は括弧を使います。(12+7)*3 は 57 を返します。電卓は入力した順番ではなく数学のルールに従います。同じ論理は逆でも成り立ちます。100 * 2 + 3 は 203、一方 100 * (2 + 3) は 500 です。
頭字語だけでは足りない部分
4文字の頭字語は基本を押さえていますが、電卓で人を惑わせる3つのよくあるケースはその範囲外にあります。
積み重なった指数は右から左にグループ化される
べき乗は右から左に結合する唯一の演算子です。2^3^2 は 2^(3^2) = 2^9 = 512 を意味し、(2^3)^2 = 64 ではありません。この差は非常に大きいので、括弧を明示的に書きましょう。指数の解説の記事ではこの習慣についてさらに掘り下げています。
パーセントは後置演算子である
% キーは、プラスやマイナスの後に付けたときに単純に100で割るわけではありません。200 + 10% では、電卓はパーセントを直前の値に対する割合として読み取ります。200 × (1 + 0.1) = 220。同様に 100 - 20% は 80 を返し、50 + 10% は 55 を返します。200の10%を単独の数値として求めたい場合は、200*10% と入力すると 20 が返ります。
暗黙の乗算は通常の優先順位に収まる
この電卓は 2π や 3(4+1) のように乗算記号なしの表記を受け付け、通常の乗算として扱います。一部の携帯型電卓では暗黙の乗算の優先順位を高く設定しているため、6÷2(1+2) はそうした機種では1になりますが、この電卓では9になります。このケースに関する普遍的な標準は存在しません。誠実な解決策は括弧を使うことです。パーセントガイドとはじめての方向けの記事では、日常的によくある2つの見落としを取り上げています。
この電卓が適用する優先順位のルール
式はmath.jsパーサーを通して処理され、優先順位の高い順に並べると次のとおりです。
| 優先順位 | 演算子 | 結合性 |
|---|---|---|
| 1(最高) | 括弧と関数呼び出し | 内側から先に |
| 2 | 階乗 n!、後置パーセント % |
左から右へ |
| 3 | べき乗 ^ |
右から左へ |
| 4 | 単項マイナス・プラス | 右から左へ |
| 5 | 乗算、除算、剰余 | 左から右へ |
| 6(最低) | 加算、減算 | 左から右へ |
計算例2: 2 + 3 × 4²
表を上から順に追っていきます。括弧はありません。べき乗: 4² = 16。乗算: 3 × 16 = 48。加算: 2 + 48 = 50。2+3*4^2 と入力すると 50 が得られます。式が解析されない場合は、エラーメッセージガイドで各メッセージの意味と括弧の直し方を確認できます。
計算例3: 200 + 10%
パーセントは表の手順2、括弧の後、乗算の前に適用されます。そのため 200 + 10% は 200 × (1 + 0.10) = 220 として評価されます。200+10% と入力すると電卓は 220 を返します。この省略記法があるため、100 - 20% は20%割引として読めます。100 × (1 − 0.2) = 80 です。
よくある質問
PEMDASとBODMASのどちらが正しいですか?
どちらも正しいです。両方とも同じ規約を表す2つの語呂合わせです。DとMの順序は問題になりません。乗算と除算は同じ順位を持ち、どちらにしても左から右に処理されるからです。
8 ÷ 2 × 4はいくつですか?
16です。除算と乗算は同じ順位を共有するため、左から右に評価します。8 ÷ 2 = 4、次に 4 × 4 = 16。
200 + 10%はいくつですか?
220です。パーセントは直前の値に対する割合として扱われるため、この式は 200 × (1 + 0.1) を意味します。200の10分の1だけを単独で求めたい場合は 200*10% と入力すると20が返ります。
なぜ−5²は−25になるのですか?
べき乗は単項マイナスより強く結合するため、−5^2 は 5² の負の値として読まれます。負の数自体を2乗したい場合は (−5)^2 と書いてください。それなら25になります。
6 ÷ 2(1 + 2)はいくつですか?
この電卓では9になり、暗黙の乗算を通常の乗算と同じ優先順位で扱います。一部の携帯型電卓ではその優先順位を上げているため1になるものもあります。この表記自体が曖昧なので、安全策は括弧を使うことです。