L’ordine delle operazioni è la convenzione che decide quale parte di un’espressione valutare per prima. Senza di essa, 12 + 7 × 3 potrebbe leggersi come 33 o come 57. La regola dice 33, perché la moltiplicazione avviene prima dell’addizione. PEMDAS e BODMAS insegnano la stessa regola con due nomi diversi, e qualsiasi analizzatore di espressioni, incluso quello di questa calcolatrice, la applica ogni volta che premi =.
Punti chiave
12 + 7 × 3 = 33; aggiungi le parentesi e(12 + 7) × 3 = 57.- Le potenze si associano da destra a sinistra:
2^3^2 = 512, mentre(2^3)^2 = 64.- Il meno unario si lega più debolmente di una potenza:
−5^2 = −25, non 25.- La percentuale postfissa aggiunge la sua quota al valore precedente:
200 + 10% = 220.
La regola in una tabella
I passaggi, insegnati come PEMDAS negli Stati Uniti e come BODMAS o BIDMAS nel Regno Unito e in gran parte del Commonwealth, sono:
| Passo | PEMDAS | BODMAS | Significato |
|---|---|---|---|
| 1 | Parentesi | Parentesi | Tutto ciò che è raggruppato, prima le parentesi più interne |
| 2 | Esponenti | Potenze / Indici | Potenze e radici |
| 3 | Moltiplicazione e divisione | Divisione e moltiplicazione | Stesso rango, da sinistra a destra |
| 4 | Addizione e sottrazione | Addizione e sottrazione | Stesso rango, da sinistra a destra |
L’errore di interpretazione più comune tratta l’acronimo come quattro livelli rigidi. Non lo è. La moltiplicazione non ha priorità sulla divisione, e l’addizione non ha priorità sulla sottrazione. Ogni coppia condivide un rango e viene eseguita da sinistra a destra, ed è per questo che PEMDAS e BODMAS danno risultati identici anche se elencano M e D in ordine opposto. La guida all’ordine delle operazioni ripercorre la stessa tabella mostrando i passaggi uno per uno.
Esempio svolto 1: la trappola classica
La lettura sbagliata. 12 + 7 × 3, calcolato rigorosamente da sinistra a destra, dà 19 × 3 = 57. Non è quello che dice la regola.
La lettura corretta. Prima la moltiplicazione: 7 × 3 = 21, poi 12 + 21 = 33.
Digita 12+7*3 e la calcolatrice restituisce 33. Per imporre il tuo ordine, usa le parentesi: (12+7)*3 restituisce 57. La calcolatrice segue la matematica, non l’ordine in cui hai digitato. La stessa logica vale al contrario: 100 * 2 + 3 fa 203, mentre 100 * (2 + 3) fa 500.
Dove gli acronimi lasciano dei vuoti
Le quattro lettere coprono le basi, ma tre casi comuni restano fuori e mandano in confusione chi usa le calcolatrici.
Gli esponenti impilati si associano da destra a sinistra
L’elevamento a potenza è l’unico operatore che si associa da destra a sinistra. 2^3^2 significa 2^(3^2) = 2^9 = 512, non (2^3)^2 = 64. La differenza è notevole, quindi scrivi le parentesi in modo esplicito. L’articolo esponenti spiegati approfondisce questa abitudine.
La percentuale è un operatore postfisso
Il tasto % non divide semplicemente per 100 il numero a cui è attaccato dopo un più o un meno. In 200 + 10%, la calcolatrice legge la percentuale come una quota del valore precedente: 200 × (1 + 0,1) = 220. Allo stesso modo 100 - 20% dà 80, e 50 + 10% dà 55. Quando vuoi il 10 percento di 200 come numero a sé, digita 200*10% e ottieni 20.
La moltiplicazione implicita occupa il rango ordinario
Questa calcolatrice accetta 2π e 3(4+1) senza il segno di moltiplicazione e li tratta come una moltiplicazione ordinaria. Alcune calcolatrici tascabili danno un rango più alto alla moltiplicazione implicita, quindi 6÷2(1+2) dà 1 su quelle macchine e 9 qui. Non esiste uno standard universale per questo caso. La soluzione onesta sono le parentesi. La guida alle percentuali e la guida introduttiva coprono i due errori più comuni nell’uso quotidiano.
Le regole di precedenza applicate da questa calcolatrice
Le espressioni passano attraverso l’analizzatore math.js, e la priorità effettiva, dalla più alta, è:
| Precedenza | Operatori | Associatività |
|---|---|---|
| 1 (più alta) | Parentesi e chiamate di funzione | Prima quelle più interne |
| 2 | Fattoriale n!, percentuale postfissa % |
Da sinistra a destra |
| 3 | Elevamento a potenza ^ |
Da destra a sinistra |
| 4 | Meno e più unari | Da destra a sinistra |
| 5 | Moltiplicazione, divisione, modulo | Da sinistra a destra |
| 6 (più bassa) | Addizione, sottrazione | Da sinistra a destra |
Esempio svolto 2: 2 + 3 × 4²
Segui la tabella dall’alto verso il basso. Parentesi: nessuna. Potenze: 4² = 16. Moltiplicazione: 3 × 16 = 48. Addizione: 2 + 48 = 50. Digita 2+3*4^2 e ottieni 50. Se un’espressione si rifiuta di essere interpretata, la guida ai messaggi di errore spiega cosa significa ogni messaggio e come correggere le parentesi.
Esempio svolto 3: 200 + 10%
La percentuale si applica al passo 2 della tabella, dopo le parentesi e prima della moltiplicazione. Quindi 200 + 10% viene valutato come 200 × (1 + 0,10) = 220. Digita 200+10% e la calcolatrice restituisce 220. Questa scorciatoia è il motivo per cui 100 - 20% si legge come uno sconto del 20 percento: 100 × (1 − 0,2) = 80.
Domande frequenti
PEMDAS o BODMAS: qual è corretto?
Entrambi. Sono due mnemotecniche per la stessa convenzione. L’ordine tra D e M non conta perché moltiplicazione e divisione hanno lo stesso rango e vengono eseguite da sinistra a destra in entrambi i casi.
Quanto fa 8 ÷ 2 × 4?
- Divisione e moltiplicazione condividono un rango, quindi si valuta da sinistra a destra:
8 ÷ 2 = 4, poi4 × 4 = 16.
Quanto fa 200 + 10%?
- La percentuale viene presa come quota del valore precedente, quindi l’espressione significa
200 × (1 + 0,1). Per ottenere un decimo di 200 da solo, digita200*10%, che restituisce 20.
Perché −5² dà −25?
L’elevamento a potenza si lega più strettamente del meno unario, quindi −5^2 si legge come il negativo di 5². Scrivi (−5)^2 per elevare al quadrato il numero negativo stesso; quello dà 25.
Quanto fa 6 ÷ 2(1 + 2)?
Questa calcolatrice dà 9, trattando la moltiplicazione implicita al rango ordinario della moltiplicazione. Alcune calcolatrici tascabili danno 1 alzando quel rango. La notazione è ambigua, quindi la risposta sicura è usare le parentesi.