A ordem das operações é a convenção que decide qual parte de uma expressão avaliar primeiro. Sem ela, 12 + 7 × 3 poderia ser lido como 33 ou 57. A regra diz que é 33, porque a multiplicação acontece antes da adição. PEMDAS e BODMAS ensinam a mesma regra sob dois nomes, e qualquer analisador de expressões, incluindo o desta calculadora, a aplica toda vez que você pressiona =.
Principais pontos
12 + 7 × 3 = 33; adicione parênteses e(12 + 7) × 3 = 57.- Potências se associam da direita para a esquerda:
2^3^2 = 512, enquanto(2^3)^2 = 64.- O menos unário tem precedência mais fraca que uma potência:
−5^2 = −25, não 25.- A porcentagem em posição pós-fixa soma sua parcela ao valor anterior:
200 + 10% = 220.
A regra em uma tabela
As etapas, ensinadas como PEMDAS nos Estados Unidos e BODMAS ou BIDMAS na Grã-Bretanha e em boa parte da Commonwealth, são:
| Etapa | PEMDAS | BODMAS | Significado |
|---|---|---|---|
| 1 | Parênteses | Colchetes | Tudo agrupado, do mais interno para fora |
| 2 | Expoentes | Ordens / Índices | Potências e raízes |
| 3 | Multiplicação e Divisão | Divisão e Multiplicação | Mesma hierarquia, da esquerda para a direita |
| 4 | Adição e Subtração | Adição e Subtração | Mesma hierarquia, da esquerda para a direita |
O erro de interpretação mais comum trata a sigla como quatro níveis rígidos. Não é o caso. A multiplicação não tem precedência sobre a divisão, e a adição não tem precedência sobre a subtração. Cada par compartilha a mesma hierarquia e é resolvido da esquerda para a direita, o que explica por que PEMDAS e BODMAS dão respostas idênticas mesmo listando M e D em ordens opostas. O guia de ordem das operações percorre a mesma tabela mostrando o passo a passo.
Exemplo resolvido 1: a armadilha clássica
A leitura errada. 12 + 7 × 3, calculado estritamente da esquerda para a direita, dá 19 × 3 = 57. Não é isso que a regra diz.
A leitura correta. Multiplicação primeiro: 7 × 3 = 21, depois 12 + 21 = 33.
Digite 12+7*3 e a calculadora retorna 33. Para forçar sua própria ordem, use parênteses: (12+7)*3 retorna 57. A calculadora segue a matemática, não a ordem em que você digitou. A mesma lógica se aplica ao contrário: 100 * 2 + 3 é 203, enquanto 100 * (2 + 3) é 500.
Onde as siglas deixam lacunas
As quatro letras cobrem o básico, mas três casos comuns ficam de fora delas e confundem as pessoas nas calculadoras.
Expoentes empilhados se agrupam da direita para a esquerda
A exponenciação é o único operador que se associa da direita para a esquerda. 2^3^2 significa 2^(3^2) = 2^9 = 512, não (2^3)^2 = 64. A diferença é grande, então escreva os parênteses explicitamente. O post expoentes explicados aprofunda esse hábito.
A porcentagem é um operador pós-fixo
A tecla % não simplesmente divide por 100 quando você a coloca depois de um mais ou de um menos. Em 200 + 10%, a calculadora lê a porcentagem como uma parcela do valor anterior: 200 × (1 + 0.1) = 220. Da mesma forma, 100 - 20% dá 80, e 50 + 10% dá 55. Quando você quer 10 por cento de 200 como um número isolado, digite 200*10% e o resultado é 20.
A multiplicação implícita fica na hierarquia comum
Esta calculadora aceita 2π e 3(4+1) sem sinal de vezes e trata isso como multiplicação comum. Algumas calculadoras portáteis colocam a multiplicação implícita numa hierarquia mais alta, então 6÷2(1+2) dá 1 nessas máquinas e 9 aqui. Não existe um padrão universal para esse caso. A solução honesta são os parênteses. O guia de porcentagem e o guia de introdução cobrem os dois deslizes mais comuns do dia a dia.
As regras de precedência que esta calculadora aplica
As expressões passam pelo analisador do math.js, e a prioridade efetiva, da mais alta para a mais baixa, é:
| Precedência | Operadores | Associatividade |
|---|---|---|
| 1 (mais alta) | Parênteses e chamadas de função | Do mais interno para fora |
| 2 | Fatorial n!, porcentagem pós-fixa % |
Da esquerda para a direita |
| 3 | Exponenciação ^ |
Da direita para a esquerda |
| 4 | Menos e mais unário | Da direita para a esquerda |
| 5 | Multiplicação, divisão, módulo | Da esquerda para a direita |
| 6 (mais baixa) | Adição, subtração | Da esquerda para a direita |
Exemplo resolvido 2: 2 + 3 × 4²
Siga a tabela de cima para baixo. Parênteses: nenhum. Potências: 4² = 16. Multiplicação: 3 × 16 = 48. Adição: 2 + 48 = 50. Digite 2+3*4^2 e você obtém 50. Se uma expressão se recusar a ser interpretada, o guia de mensagens de erro explica o que cada mensagem significa e como corrigir os parênteses.
Exemplo resolvido 3: 200 + 10%
A porcentagem se aplica na etapa 2 da tabela, depois dos parênteses e antes da multiplicação. Então 200 + 10% é avaliado como 200 × (1 + 0.10) = 220. Digite 200+10% e a calculadora retorna 220. Esse atalho é o motivo pelo qual 100 - 20% é lido como um desconto de 20 por cento: 100 × (1 − 0.2) = 80.
Perguntas frequentes
PEMDAS ou BODMAS está correto?
Os dois. São dois mnemônicos para a mesma convenção. A ordem de D e M não importa porque multiplicação e divisão têm a mesma hierarquia e são resolvidas da esquerda para a direita de qualquer forma.
Quanto é 8 ÷ 2 × 4?
- Divisão e multiplicação compartilham a mesma hierarquia, então avalie da esquerda para a direita:
8 ÷ 2 = 4, depois4 × 4 = 16.
Quanto é 200 + 10%?
- A porcentagem é tomada como uma parcela do valor anterior, então a expressão significa
200 × (1 + 0.1). Para obter um décimo de 200 isoladamente, digite200*10%, que retorna 20.
Por que −5² dá −25?
A exponenciação tem precedência mais forte que o menos unário, então −5^2 é lido como o negativo de 5². Escreva (−5)^2 para elevar ao quadrado o próprio número negativo; isso dá 25.
Quanto é 6 ÷ 2(1 + 2)?
Esta calculadora dá 9, tratando a multiplicação implícita na hierarquia comum da multiplicação. Algumas calculadoras portáteis dão 1 ao elevar essa hierarquia. A notação é ambígua, então a resposta segura é usar parênteses.