Cada regla para los logs refleja una regla para los exponentes. Multiplicar dos potencias de la misma base suma sus exponentes, así que sumar logs significa multiplicar las entradas. Dividir las resta. Elevar a una potencia las multiplica. Como un logaritmo es un exponente disfrazado, cada ley de exponentes tiene una traducción directa al log, y aprenderlas en parejas hace más fácil recordar ambos conjuntos.
Ideas clave
- Regla del producto:
log10(100) + log10(10) = log10(1000) = 3, ya que 2 + 1.- Gemela del exponente:
2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128, porque multiplicar potencias suma exponentes.- Regla de la potencia:
ln(e³) = 3 × ln(e) = 3.- Cambio de base:
log(8, 2) = 3, y cualquier base funciona conlog(x) ÷ log(b).
Las reglas como hoja de referencia
Los emparejamientos de abajo son los que hacen el trabajo rutinario. Cada regla del log a la derecha es la regla del exponente a la izquierda leída al revés. La guía de reglas de logs y exponentes mantiene esta misma tabla, y exponentes explicados desarrolla de dónde salen las reglas de los exponentes.
| Regla del exponente | Regla del log | Comprobación rápida |
|---|---|---|
aⁿ × aᵐ = aⁿ⁺ᵐ |
log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y) |
log10(100) + log10(10) = 2 + 1 = 3 |
aⁿ ÷ aᵐ = aⁿ⁻ᵐ |
log_b(x ÷ y) = log_b(x) − log_b(y) |
log10(1) − log10(100) = 0 − 2 = −2 |
(aⁿ)ᵐ = aⁿᵐ |
log_b(xⁿ) = n × log_b(x) |
ln(e³) = 3 × ln(e) = 3 |
a⁰ = 1 |
log_b(1) = 0 |
ln(1) = 0 |
a⁻ⁿ = 1 ÷ aⁿ |
log_b(1 ÷ x) = −log_b(x) |
ln(0.5) = −ln(2) = −0.693147 |
Cada fila de arriba se reproduce en la calculadora, con valores redondeados como redondea la pantalla. La referencia de funciones de la calculadora enumera las teclas exactas.
Regla del producto: el log de un producto es la suma de los logs
Esta es la regla del log más útil. log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y). La multiplicación, lenta a mano, se convierte en suma, que es rápida. Por qué funciona: si x = b^p e y = b^q, entonces xy = b^p × b^q = b^(p+q), así que el log de xy es p + q.
Ejemplo resuelto 1. log10(100) = 2 y log10(10) = 1. La regla del producto dice log10(100 × 10) = log10(1000) = 2 + 1 = 3. Compruébalo en la calculadora de logaritmos: escribe log(1000) y muestra 3. Mejor aún, escribe log(100) + log(10) y también se asienta en 3. Dos caminos, misma respuesta.
La gemela del exponente es la primera que todos conocen: 2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128. Procedimiento completo: 8 × 16 = 128, y 2⁷ = 128 también.
Regla del cociente: el log de un cociente es la diferencia
La división se convierte en resta: log_b(x ÷ y) = log_b(x) − log_b(y). Si un producto se descompone en una suma, entonces un cociente se descompone en una resta. La versión del exponente convierte una fracción en un exponente negativo primero: 2⁵ ÷ 2² = 2³ = 8, porque 5 menos 2 es 3.
Ejemplo resuelto 2. log10(1) − log10(100) debería igualar el log de 1 ÷ 100 = 0.01. Eso da 0 − 2 = −2, y en efecto log10(0.01) = −2 porque 10⁻² = 0.01. Escribe log(0.01) para confirmarlo. Fíjate en que el log de un número menor que 1 es negativo, igual que un exponente negativo produce una fracción.
Regla de la potencia: el exponente sale delante
log_b(xⁿ) = n × log_b(x). Cualquier exponente dentro del log se convierte en un multiplicador delante. Esta es la regla que te permite despejar un exponente: log(5^10) se convierte en 10 × log(5).
Ejemplo resuelto 3. ln(e^3) usa la convención de la calculadora de logaritmos naturales donde ln es base e. La regla de la potencia lo convierte en 3 × ln(e), y como ln(e) = 1, la respuesta es exactamente 3. Escribe ln(e^3) y 3 * ln(e); ambos devuelven 3. En el lado del exponente, (2³)² = 2⁶ = 64.
Cambio de base: cualquier log en cualquier base
Las reglas te dan una conversión de una división entre bases: log_b(x) = log(x) ÷ log(b). La calculadora de logaritmos también acepta un segundo argumento para la base, así que a menudo puedes saltarte la fórmula por completo.
Ejemplo resuelto 4. Quieres log2(8). En la calculadora de logaritmos, escribe log(8, 2) y devuelve 3, porque 2³ = 8. O usa la fórmula de cambio de base: log(8) / log(2) también devuelve 3. El lado del exponente muestra la misma relación con otro disfraz: 2⁴ × 2⁻¹ = 2³ = 8.
Trabajar con las reglas en la calculadora
- Escribe la expresión completa y luego pulsa
=.log(100) + log(10)evalúa una vez y da 3. - Cualquier base funciona como segundo argumento:
log(x, b). - Recuerda que
loges base 10 aquí ylnes la versión natural. La calculadora de exponentes cubre el mismo par de ideas desde el lado de las potencias.
Preguntas frecuentes
¿Por qué se cumple la regla del producto?
Porque multiplicar potencias de la misma base suma exponentes. Si x = b^p e y = b^q, entonces xy = b^(p+q), y tomar un log de ambos lados da log_b(xy) = p + q.
¿Funcionan estas reglas para los logaritmos naturales?
Cada regla funciona en cada base, incluida e. ln(xy) = ln(x) + ln(y), ln(x ÷ y) = ln(x) − ln(y), y ln(xⁿ) = n × ln(x). La calculadora de logaritmos naturales aplica las mismas leyes porque un log es un log independientemente de la base.
¿Cuál es el log de 1?
log_b(1) = 0 en cada base, porque cualquier base elevada a la potencia 0 da 1.
¿Cómo calculo log2(8) si no hay una tecla de base?
Escribe log(8, 2) para fijar la base directamente, o usa la fórmula de cambio de base log(8) / log(2). Ambos dan 3.