قواعد اللوغاريتمات والأسس بالتفصيل

كل قاعدة من قواعد اللوغاريتمات لها نظير مطابق في قواعد الأسس. فضرب قوتين لنفس الأساس يعني جمع أُسّيهما، لذا فإن جمع لوغاريتمين يعني ضرب مدخليهما. والقسمة تعني طرحهما. والرفع لقوة يعني ضربهما. ولأن اللوغاريتم ما هو في جوهره إلا أُسّ متنكر في شكل آخر، فإن كل قانون من قوانين الأسس له ترجمة لوغاريتمية مباشرة، وتعلّمها في أزواج متقابلة يجعل حفظ المجموعتين أسهل بكثير.

أبرز النقاط

• قاعدة الضرب: log10(100) + log10(10) = log10(1000) = 3، لأن 2 + 1 = 3.
• نظيرها في الأسس: 2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128، لأن ضرب القوى يعني جمع أُسّيها.
• قاعدة القوة: ln(e³) = 3 × ln(e) = 3.
• تغيير الأساس: log(8, 2) = 3، ويصلح أي أساس آخر باستخدام log(x) ÷ log(b).

القواعد في ورقة مرجعية سريعة

الأزواج أدناه هي التي تؤدي العمل الروتيني اليومي. وكل قاعدة لوغاريتمية على اليمين ما هي إلا قاعدة الأسس على اليسار مقروءة بالمقلوب. يحتفظ دليل قواعد اللوغاريتمات والأسس بنفس هذا الجدول، بينما يشرح مقال الأسس ببساطة من أين تأتي قواعد الأسس أصلًا.

قاعدة الأسس	قاعدة اللوغاريتم	تحقق سريع
aⁿ × aᵐ = aⁿ⁺ᵐ	log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y)	log10(100) + log10(10) = 2 + 1 = 3
aⁿ ÷ aᵐ = aⁿ⁻ᵐ	log_b(x ÷ y) = log_b(x) − log_b(y)	log10(1) − log10(100) = 0 − 2 = −2
(aⁿ)ᵐ = aⁿᵐ	log_b(xⁿ) = n × log_b(x)	ln(e³) = 3 × ln(e) = 3
a⁰ = 1	log_b(1) = 0	ln(1) = 0
a⁻ⁿ = 1 ÷ aⁿ	log_b(1 ÷ x) = −log_b(x)	ln(0.5) = −ln(2) = −0.693147

كل صف من الجدول أعلاه قابل لإعادة التحقق منه على الآلة الحاسبة، بالقيم مُقرَّبة بنفس الطريقة التي تُقرِّب بها الشاشة النتائج. ويسرد مرجع دوال الآلة الحاسبة المفاتيح الدقيقة لكل دالة.

قاعدة الضرب: لوغاريتم الجداء هو مجموع اللوغاريتمات

هذه أكثر قواعد اللوغاريتمات فائدة من الناحية العملية. log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y). فالضرب، وهو عملية بطيئة عند إجرائها يدويًا، يتحول إلى جمع، وهو عملية سريعة. وسبب صحة هذه القاعدة بسيط: إذا كان x = b^p وy = b^q، فإن xy = b^p × b^q = b^(p+q)، وبالتالي فإن لوغاريتم xy يساوي p + q.

مثال محلول 1. log10(100) = 2 وlog10(10) = 1. تنص قاعدة الضرب على أن log10(100 × 10) = log10(1000) = 2 + 1 = 3. تحقق من ذلك عبر حاسبة اللوغاريتمات: اكتب log(1000) فتظهر النتيجة 3. والأفضل من ذلك، اكتب log(100) + log(10) فتصل أيضًا إلى 3. طريقان مختلفان، ونفس الإجابة.

أما نظيرها في الأسس فهو أول ما يتعرف عليه الجميع عادةً: 2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128. والحل الكامل: 8 × 16 = 128، و2⁷ = 128 أيضًا.

قاعدة القسمة: لوغاريتم خارج القسمة هو الفرق

القسمة تتحول إلى طرح: log_b(x ÷ y) = log_b(x) − log_b(y). فإذا كان الجداء يتفكك إلى جمع، فإن خارج القسمة يتفكك إلى طرح. أما صيغة الأسس فتقلب الكسر إلى أُسّ سالب أولًا: 2⁵ ÷ 2² = 2³ = 8، لأن 5 ناقص 2 يساوي 3.

مثال محلول 2. يجب أن يساوي log10(1) − log10(100) لوغاريتم 1 ÷ 100 = 0.01. وهذا يعطي 0 − 2 = −2، وفعلًا log10(0.01) = −2 لأن 10⁻² = 0.01. اكتب log(0.01) للتحقق من ذلك. ولاحظ أن لوغاريتم أي عدد أصغر من 1 يكون سالبًا، تمامًا كما ينتج الأُسّ السالب كسرًا.

قاعدة القوة: الأُسّ يخرج إلى الأمام كمعامل

log_b(xⁿ) = n × log_b(x). أي أُسّ داخل اللوغاريتم يتحول إلى معامل ضرب أمامه. وهذه هي القاعدة التي تتيح لك حل معادلات الأُسّ المجهول: فـ log(5^10) يصبح 10 × log(5).

مثال محلول 3. تستخدم العبارة ln(e^3) اصطلاح حاسبة اللوغاريتم الطبيعي حيث يكون أساس ln هو العدد e. تحوّل قاعدة القوة هذه العبارة إلى 3 × ln(e)، وبما أن ln(e) = 1، فإن الناتج هو 3 بالضبط. اكتب ln(e^3) ثم 3 * ln(e)، وستحصل في الحالتين على 3. وعلى جانب الأسس، (2³)² = 2⁶ = 64.

تغيير الأساس: أي لوغاريتم بأي أساس

تمنحك القواعد طريقة تحويل بقسمة واحدة بين الأسس: log_b(x) = log(x) ÷ log(b). كما تقبل حاسبة اللوغاريتمات وسيطًا ثانيًا للأساس، ما يتيح لك في كثير من الأحيان تجاوز الصيغة تمامًا.

مثال محلول 4. تريد حساب log2(8). على حاسبة اللوغاريتمات، اكتب log(8, 2) فتعطيك 3، لأن 2³ = 8. أو استخدم صيغة تغيير الأساس: log(8) / log(2) تعطي أيضًا 3. ويُظهر جانب الأسس نفس العلاقة بثوب آخر: 2⁴ × 2⁻¹ = 2³ = 8.

العمل بهذه القواعد على الآلة الحاسبة

• اكتب العبارة كاملة، ثم اضغط =. تُحسب log(100) + log(10) دفعة واحدة وتعطي 3.
• يصلح أي أساس كوسيط ثانٍ: log(x, b).
• تذكّر أن log هنا هو الأساس 10 وأن ln هو النسخة الطبيعية. وتغطي حاسبة الأسس نفس الفكرتين من جانب القوة.

أسئلة شائعة

لماذا تصح قاعدة الضرب؟

لأن ضرب قوتين لنفس الأساس يعني جمع أُسّيهما. فإذا كان x = b^p وy = b^q، فإن xy = b^(p+q)، وأخذ لوغاريتم الطرفين يعطي log_b(xy) = p + q.

هل تصح هذه القواعد مع اللوغاريتمات الطبيعية؟

كل قاعدة تصح في أي أساس، بما في ذلك الأساس e. فـ ln(xy) = ln(x) + ln(y)، وln(x ÷ y) = ln(x) − ln(y)، وln(xⁿ) = n × ln(x). وتطبّق حاسبة اللوغاريتم الطبيعي نفس هذه القوانين لأن اللوغاريتم يبقى لوغاريتمًا أيًّا كان أساسه.

ما هو لوغاريتم العدد 1؟

log_b(1) = 0 في أي أساس، لأن أي أساس مرفوع للقوة صفر يساوي 1.

كيف أحسب log2(8) إذا لم يكن هناك مفتاح خاص بالأساس؟

اكتب log(8, 2) لتحديد الأساس مباشرة، أو استخدم صيغة تغيير الأساس log(8) / log(2). وكلتاهما تعطي 3.