로그의 모든 법칙은 지수의 법칙을 그대로 반영합니다. 같은 밑을 가진 두 거듭제곱을 곱하면 지수끼리 더해지므로, 로그를 더하는 것은 곧 입력값을 곱하는 것과 같습니다. 나눗셈은 지수를 빼는 것에 대응하고, 거듭제곱은 지수를 곱하는 것에 대응합니다. 로그는 사실 지수를 다른 형태로 표현한 것이기 때문에 모든 지수 법칙에는 대응하는 로그 법칙이 존재하며, 이 둘을 짝지어 함께 익히면 훨씬 쉽게 기억할 수 있습니다.

핵심 요약

곱셈 법칙: log10(100) + log10(10) = log10(1000) = 3, 2 + 1이기 때문입니다.

대응하는 지수 법칙: 2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128, 거듭제곱을 곱하면 지수가 더해지기 때문입니다.

거듭제곱 법칙: ln(e³) = 3 × ln(e) = 3.

밑 변환: log(8, 2) = 3이며, log(x) ÷ log(b)를 쓰면 어떤 밑이든 계산할 수 있습니다.

치트시트로 정리한 법칙들

아래 대응 관계는 실전에서 가장 자주 쓰이는 것들입니다. 오른쪽의 각 로그 법칙은 왼쪽 지수 법칙을 거꾸로 읽은 것과 같습니다. 로그와 지수 법칙 가이드에도 같은 표가 정리되어 있고, 지수 완벽 설명에서는 이 지수 법칙들이 어디에서 비롯되는지 다룹니다.

지수 법칙	로그 법칙	빠른 검산
`aⁿ × aᵐ = aⁿ⁺ᵐ`	`log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y)`	`log10(100) + log10(10) = 2 + 1 = 3`
`aⁿ ÷ aᵐ = aⁿ⁻ᵐ`	`log_b(x ÷ y) = log_b(x) − log_b(y)`	`log10(1) − log10(100) = 0 − 2 = −2`
`(aⁿ)ᵐ = aⁿᵐ`	`log_b(xⁿ) = n × log_b(x)`	`ln(e³) = 3 × ln(e) = 3`
`a⁰ = 1`	`log_b(1) = 0`	`ln(1) = 0`
`a⁻ⁿ = 1 ÷ aⁿ`	`log_b(1 ÷ x) = −log_b(x)`	`ln(0.5) = −ln(2) = −0.693147`

위 표의 모든 행은 계산기에서 그대로 재현할 수 있으며, 값은 화면 표시 방식과 동일하게 반올림되어 있습니다. 정확한 입력 키는 계산기 함수 레퍼런스에서 확인할 수 있습니다.

곱셈 법칙: 곱의 로그는 로그의 합

가장 실용적인 로그 법칙입니다. log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y). 손으로 계산하기 번거로운 곱셈이 훨씬 빠른 덧셈으로 바뀝니다. 원리는 이렇습니다. x = b^p이고 y = b^q라면 xy = b^p × b^q = b^(p+q)이므로, xy의 로그는 p + q가 됩니다.

실전 예제 1. log10(100) = 2이고 log10(10) = 1입니다. 곱셈 법칙에 따르면 log10(100 × 10) = log10(1000) = 2 + 1 = 3입니다. 로그 계산기에서 log(1000)을 입력하면 3이 나옵니다. 더 흥미로운 점은 log(100) + log(10)을 입력해도 똑같이 3으로 수렴한다는 것입니다. 두 가지 경로, 같은 답입니다.

이에 대응하는 지수 법칙은 누구나 가장 먼저 배우는 것입니다. 2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128. 전체 과정은 8 × 16 = 128이고, 2⁷ 역시 128입니다.

나눗셈 법칙: 몫의 로그는 로그의 차

나눗셈은 뺄셈으로 바뀝니다. log_b(x ÷ y) = log_b(x) − log_b(y). 곱셈이 덧셈으로 풀리듯이, 나눗셈은 뺄셈으로 풀립니다. 지수 쪽에서는 분수를 먼저 음의 지수로 바꿔서 생각합니다. 2⁵ ÷ 2² = 2³ = 8, 5에서 2를 빼면 3이기 때문입니다.

실전 예제 2. log10(1) − log10(100)은 1 ÷ 100 = 0.01의 로그와 같아야 합니다. 계산하면 0 − 2 = −2가 나오고, 실제로 10⁻² = 0.01이므로 log10(0.01) = −2입니다. log(0.01)을 입력해 확인해 보세요. 1보다 작은 수의 로그는 음수가 되는데, 이는 음의 지수가 분수를 만드는 것과 정확히 같은 원리입니다.

거듭제곱 법칙: 지수가 앞으로 나온다

log_b(xⁿ) = n × log_b(x). 로그 안에 있던 지수가 앞으로 나와 곱셈이 됩니다. 이 법칙 덕분에 지수 자체를 풀 수 있습니다. log(5^10)은 10 × log(5)가 됩니다.

실전 예제 3. ln(e^3)은 자연로그 계산기에서 사용하는 표기법으로, ln은 밑이 e인 로그입니다. 거듭제곱 법칙을 적용하면 3 × ln(e)가 되고, ln(e) = 1이므로 답은 정확히 3입니다. ln(e^3)과 3 * ln(e)을 각각 입력하면 둘 다 3이 나옵니다. 지수 쪽에서는 (2³)² = 2⁶ = 64입니다.

밑 변환: 어떤 밑의 로그든 계산하기

밑 변환 공식을 쓰면 나눗셈 한 번으로 밑을 바꿀 수 있습니다. log_b(x) = log(x) ÷ log(b). 로그 계산기는 두 번째 인수로 밑을 직접 받을 수 있어서, 공식을 쓰지 않고도 계산할 수 있는 경우가 많습니다.

실전 예제 4. log2(8)을 구하고 싶다고 해봅시다. 로그 계산기에서 log(8, 2)를 입력하면 2³ = 8이므로 3이 반환됩니다. 혹은 밑 변환 공식을 써서 log(8) / log(2)를 입력해도 역시 3이 나옵니다. 지수 쪽에서는 같은 관계가 다른 모습으로 나타납니다. 2⁴ × 2⁻¹ = 2³ = 8.

계산기로 법칙 적용해 보기

전체 식을 입력한 뒤 =를 누르세요. log(100) + log(10)은 한 번에 계산되어 3을 반환합니다.
두 번째 인수로 어떤 밑이든 지정할 수 있습니다. log(x, b).
여기서 log는 밑이 10, ln은 자연로그라는 점을 기억하세요. 지수 계산기에서는 같은 개념 쌍을 거듭제곱 쪽 관점에서 다룹니다.

자주 묻는 질문

곱셈 법칙은 왜 성립하나요?

같은 밑의 거듭제곱을 곱하면 지수가 더해지기 때문입니다. x = b^p이고 y = b^q라면 xy = b^(p+q)이고, 양변에 로그를 취하면 log_b(xy) = p + q가 됩니다.

이 법칙들은 자연로그에도 적용되나요?

모든 법칙은 e를 포함한 어떤 밑에서도 성립합니다. ln(xy) = ln(x) + ln(y), ln(x ÷ y) = ln(x) − ln(y), ln(xⁿ) = n × ln(x)입니다. 자연로그 계산기도 밑이 무엇이든 로그는 로그이므로 동일한 법칙을 적용합니다.

1의 로그는 무엇인가요?

log_b(1) = 0은 모든 밑에서 성립합니다. 어떤 밑이든 0제곱하면 1이 되기 때문입니다.

밑을 지정하는 키가 없는데 log2(8)은 어떻게 계산하나요?

log(8, 2)를 입력해 밑을 직접 지정하거나, 밑 변환 공식 log(8) / log(2)를 사용하세요. 둘 다 3이 나옵니다.