Jede Regel für Logarithmen spiegelt eine Regel für Exponenten. Zwei Potenzen derselben Basis zu multiplizieren, addiert ihre Exponenten, also bedeutet das Addieren von Logarithmen, die Eingaben zu multiplizieren. Dividieren subtrahiert sie. Potenzieren multipliziert sie. Weil ein Logarithmus ein Exponent in Verkleidung ist, hat jedes Exponentengesetz eine direkte Logarithmus-Übersetzung, und sie paarweise zu lernen macht beide Mengen leichter zu merken.
Die wichtigsten Punkte
- Produktregel:
log10(100) + log10(10) = log10(1000) = 3, da 2 + 1.- Exponenten-Zwilling:
2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128, denn Potenzen zu multiplizieren addiert Exponenten.- Potenzregel:
ln(e³) = 3 × ln(e) = 3.- Basiswechsel:
log(8, 2) = 3, und jede Basis funktioniert mitlog(x) ÷ log(b).
Die Regeln als Spickzettel
Die Paarungen unten sind die, die die Routinearbeit erledigen. Jede Log-Regel rechts ist die Exponentenregel links, rückwärts gelesen. Der Leitfaden zu Logarithmus- und Exponentenregeln führt dieselbe Tabelle, und Exponenten erklärt entwickelt, woher die Exponentenregeln kommen.
| Exponentenregel | Log-Regel | Schnellprüfung |
|---|---|---|
aⁿ × aᵐ = aⁿ⁺ᵐ |
log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y) |
log10(100) + log10(10) = 2 + 1 = 3 |
aⁿ ÷ aᵐ = aⁿ⁻ᵐ |
log_b(x ÷ y) = log_b(x) − log_b(y) |
log10(1) − log10(100) = 0 − 2 = −2 |
(aⁿ)ᵐ = aⁿᵐ |
log_b(xⁿ) = n × log_b(x) |
ln(e³) = 3 × ln(e) = 3 |
a⁰ = 1 |
log_b(1) = 0 |
ln(1) = 0 |
a⁻ⁿ = 1 ÷ aⁿ |
log_b(1 ÷ x) = −log_b(x) |
ln(0.5) = −ln(2) = −0.693147 |
Jede Zeile oben ist auf dem Rechner reproduzierbar, mit Werten, die so gerundet sind, wie das Display rundet. Die Referenz der Rechnerfunktionen listet die exakten Tasten.
Produktregel: der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der Logarithmen
Das ist die nützlichste Log-Regel. log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y). Multiplikation, die von Hand langsam ist, wird zur Addition, die schnell ist. Der Grund, warum es funktioniert: Wenn x = b^p und y = b^q ist, dann ist xy = b^p × b^q = b^(p+q), der Logarithmus von xy also p + q.
Durchgerechnetes Beispiel 1. log10(100) = 2 und log10(10) = 1. Die Produktregel sagt log10(100 × 10) = log10(1000) = 2 + 1 = 3. Prüfe im Logarithmus-Rechner: Tippe log(1000) ein, und er zeigt 3. Noch besser, tippe log(100) + log(10), und es beruhigt sich ebenfalls bei 3. Zwei Wege, dieselbe Antwort.
Der Exponenten-Zwilling ist der, den jeder zuerst trifft: 2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128. Vollständiger Rechenweg: 8 × 16 = 128, und 2⁷ = 128 ebenso.
Quotientenregel: der Logarithmus eines Quotienten ist die Differenz
Division wird Subtraktion: log_b(x ÷ y) = log_b(x) − log_b(y). Wenn ein Produkt in eine Addition aufbricht, dann bricht ein Quotient in eine Subtraktion auf. Die Exponentenversion dreht zuerst einen Bruch in einen negativen Exponenten: 2⁵ ÷ 2² = 2³ = 8, weil 5 minus 2 gleich 3 ist.
Durchgerechnetes Beispiel 2. log10(1) − log10(100) sollte gleich dem Logarithmus von 1 ÷ 100 = 0.01 sein. Das ergibt 0 − 2 = −2, und tatsächlich ist log10(0.01) = −2, weil 10⁻² = 0.01. Tippe log(0.01) zur Bestätigung. Beachte, dass der Logarithmus einer Zahl unter 1 negativ ist, genauso wie ein negativer Exponent einen Bruch erzeugt.
Potenzregel: der Exponent kommt nach vorn
log_b(xⁿ) = n × log_b(x). Jeder Exponent innerhalb des Logarithmus wird ein Multiplikator vorn. Das ist die Regel, mit der du nach einem Exponenten auflösen kannst: log(5^10) wird 10 × log(5).
Durchgerechnetes Beispiel 3. ln(e^3) nutzt die Konvention des Rechners für natürliche Logarithmen, bei der ln die Basis e hat. Die Potenzregel macht daraus 3 × ln(e), und da ln(e) = 1 ist, ist die Antwort exakt 3. Tippe ln(e^3) und 3 * ln(e); beide liefern 3. Auf der Exponentenseite ist (2³)² = 2⁶ = 64.
Basiswechsel: jeder Logarithmus in jeder Basis
Die Regeln geben dir eine Ein-Division-Umrechnung zwischen Basen: log_b(x) = log(x) ÷ log(b). Der Logarithmus-Rechner akzeptiert auch ein zweites Argument für die Basis, so dass du die Formel oft ganz überspringen kannst.
Durchgerechnetes Beispiel 4. Du willst log2(8). Im Logarithmus-Rechner tippe log(8, 2), und er liefert 3, weil 2³ = 8. Oder nutze die Basiswechsel-Formel: log(8) / log(2) kommt ebenfalls auf 3 zurück. Die Exponentenseite zeigt dieselbe Beziehung in einem anderen Kostüm: 2⁴ × 2⁻¹ = 2³ = 8.
Mit den Regeln auf dem Rechner arbeiten
- Tippe den ganzen Ausdruck und drücke dann
=.log(100) + log(10)wertet auf einmal aus und ergibt 3. - Jede Basis funktioniert als zweites Argument:
log(x, b). - Denke daran, dass
loghier Basis 10 ist undlndie natürliche Version. Der Exponenten-Rechner deckt dasselbe Gedankenpaar von der Potenzseite ab.
Häufig gestellte Fragen
Warum gilt die Produktregel?
Weil das Multiplizieren von Potenzen derselben Basis Exponenten addiert. Wenn x = b^p und y = b^q ist, dann ist xy = b^(p+q), und der Logarithmus auf beiden Seiten ergibt log_b(xy) = p + q.
Funktionieren diese Regeln für natürliche Logarithmen?
Jede Regel funktioniert in jeder Basis, einschließlich e. ln(xy) = ln(x) + ln(y), ln(x ÷ y) = ln(x) − ln(y) und ln(xⁿ) = n × ln(x). Der Rechner für natürliche Logarithmen wendet dieselben Gesetze an, denn ein Logarithmus ist ein Logarithmus, egal welche Basis.
Was ist der Logarithmus von 1?
log_b(1) = 0 in jeder Basis, weil jede Basis hoch 0 gleich 1 ist.
Wie berechne ich log2(8), wenn es keine Basistaste gibt?
Tippe log(8, 2), um die Basis direkt zu setzen, oder nutze die Basiswechsel-Formel log(8) / log(2). Beides ergibt 3.