对数的每一条法则都对应着指数的一条法则。同底数幂相乘时指数相加，所以对数相加就意味着真数相乘；相除则指数相减；乘方则指数相乘。因为对数本质上就是指数的另一种写法，所以每一条指数定律都能直接翻译成对应的对数法则，成对学习会让两套规则都更容易记住。
要点速览
- 乘法法则：
log10(100) + log10(10) = log10(1000) = 3，因为 2 + 1 = 3。- 对应的指数法则：
2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128，因为幂相乘时指数相加。- 乘方法则：
ln(e³) = 3 × ln(e) = 3。- 换底公式：
log(8, 2) = 3，用log(x) ÷ log(b)可以换成任意底数。
法则速查表
下表列出了最常用的几组对应关系。右侧每一条对数法则，都是左侧对应指数法则的“反向读法”。对数与指数法则指南给出了同样的表格，而指数详解则说明了这些指数法则的由来。
| 指数法则 | 对数法则 | 速算验证 |
|---|---|---|
aⁿ × aᵐ = aⁿ⁺ᵐ |
log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y) |
log10(100) + log10(10) = 2 + 1 = 3 |
aⁿ ÷ aᵐ = aⁿ⁻ᵐ |
log_b(x ÷ y) = log_b(x) − log_b(y) |
log10(1) − log10(100) = 0 − 2 = −2 |
(aⁿ)ᵐ = aⁿᵐ |
log_b(xⁿ) = n × log_b(x) |
ln(e³) = 3 × ln(e) = 3 |
a⁰ = 1 |
log_b(1) = 0 |
ln(1) = 0 |
a⁻ⁿ = 1 ÷ aⁿ |
log_b(1 ÷ x) = −log_b(x) |
ln(0.5) = −ln(2) = −0.693147 |
以上每一行都可以在计算器上验证，结果按显示屏的四舍五入方式取值。计算器函数参考列出了对应的具体按键。
乘法法则：乘积的对数等于对数之和
这是最实用的一条对数法则：log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y)。手算时很麻烦的乘法，被转化成了简单的加法。原理很简单：如果 x = b^p、y = b^q，那么 xy = b^p × b^q = b^(p+q)，所以 xy 的对数就是 p + q。
例题 1。 log10(100) = 2，log10(10) = 1。乘法法则告诉我们 log10(100 × 10) = log10(1000) = 2 + 1 = 3。在对数计算器上验证：输入 log(1000)，结果显示 3；再输入 log(100) + log(10)，同样得到 3。两条路径，殊途同归。
对应的指数版本大家都很熟悉：2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128。完整过程是 8 × 16 = 128，而 2⁷ 同样等于 128。
除法法则：商的对数等于对数之差
除法变成了减法：log_b(x ÷ y) = log_b(x) − log_b(y)。既然乘积可以拆成加法，商自然就能拆成减法。指数版本则是先把分数转化成负指数：2⁵ ÷ 2² = 2³ = 8，因为 5 减 2 等于 3。
例题 2。 log10(1) − log10(100) 应该等于 1 ÷ 100 = 0.01 的对数。计算得 0 − 2 = −2，而 log10(0.01) = −2 确实成立，因为 10⁻² = 0.01。输入 log(0.01) 即可验证。注意小于 1 的数字对数为负值，正如负指数会产生分数一样。
乘方法则：指数被提到前面
log_b(xⁿ) = n × log_b(x)。对数内部的任何指数，都会变成外面的乘数。正是这条法则，让我们可以求解未知指数：log(5^10) 可以化为 10 × log(5)。
例题 3。 ln(e^3) 使用了自然对数计算器中以 e 为底的 ln 约定。乘方法则把它化简为 3 × ln(e)，而 ln(e) = 1，所以答案正好是 3。分别输入 ln(e^3) 和 3 * ln(e)，两者都返回 3。在指数一侧，(2³)² = 2⁶ = 64。
换底公式：任意底数的对数
换底公式给出了一次除法就能完成的底数转换：log_b(x) = log(x) ÷ log(b)。对数计算器也支持输入第二个参数作为底数，很多时候可以直接跳过公式本身。
例题 4。 假设要求 log2(8)。在对数计算器上输入 log(8, 2)，结果返回 3，因为 2³ = 8。也可以用换底公式：log(8) / log(2)，同样得到 3。指数一侧则以另一种形式展示了同样的关系：2⁴ × 2⁻¹ = 2³ = 8。
在计算器上使用这些法则
- 输入完整表达式后按
=。log(100) + log(10)一次求值即得 3。 - 任意底数都可以作为第二个参数：
log(x, b)。 - 记住这里的
log是以 10 为底，ln是自然对数。指数计算器从乘方的角度覆盖了同一对概念。
常见问题
为什么乘法法则成立？
因为同底数幂相乘时指数相加。若 x = b^p、y = b^q，则 xy = b^(p+q)，对两边取对数即得 log_b(xy) = p + q。
这些法则对自然对数同样适用吗？
所有法则在任意底数下都成立，包括以 e 为底。ln(xy) = ln(x) + ln(y)，ln(x ÷ y) = ln(x) − ln(y)，ln(xⁿ) = n × ln(x)。自然对数计算器遵循同样的法则，因为无论底数是什么，对数的本质规律都是一样的。
1 的对数是多少？
在任意底数下，log_b(1) = 0，因为任何底数的 0 次方都等于 1。
没有底数按键时，如何计算 log2(8)？
输入 log(8, 2)直接指定底数，或使用换底公式 log(8) / log(2)。两种方法都会得到 3。