Chaque règle des logarithmes a son équivalent chez les exposants. Multiplier deux puissances d’une même base revient à additionner leurs exposants ; additionner des logarithmes revient donc à multiplier leurs entrées. Diviser revient à les soustraire. Élever à une puissance revient à les multiplier. Comme un logarithme n’est rien d’autre qu’un exposant déguisé, chaque loi des exposants a sa traduction directe en logarithmes, et les apprendre par paires rend les deux ensembles plus faciles à retenir.
Points clés à retenir
- Règle du produit :
log10(100) + log10(10) = log10(1000) = 3, puisque 2 + 1.- Pendant côté exposants :
2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128, car multiplier des puissances revient à additionner les exposants.- Règle de la puissance :
ln(e³) = 3 × ln(e) = 3.- Changement de base :
log(8, 2) = 3, et n’importe quelle base fonctionne aveclog(x) ÷ log(b).
Les règles sous forme d’aide-mémoire
Les associations ci-dessous sont celles qui servent au quotidien. Chaque règle de logarithme à droite est la règle des exposants à gauche, lue à l’envers. Le guide des règles des logarithmes et des exposants reprend exactement le même tableau, et l’article comprendre les exposants explique d’où viennent ces règles.
| Règle des exposants | Règle des logarithmes | Vérification rapide |
|---|---|---|
aⁿ × aᵐ = aⁿ⁺ᵐ |
log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y) |
log10(100) + log10(10) = 2 + 1 = 3 |
aⁿ ÷ aᵐ = aⁿ⁻ᵐ |
log_b(x ÷ y) = log_b(x) − log_b(y) |
log10(1) − log10(100) = 0 − 2 = −2 |
(aⁿ)ᵐ = aⁿᵐ |
log_b(xⁿ) = n × log_b(x) |
ln(e³) = 3 × ln(e) = 3 |
a⁰ = 1 |
log_b(1) = 0 |
ln(1) = 0 |
a⁻ⁿ = 1 ÷ aⁿ |
log_b(1 ÷ x) = −log_b(x) |
ln(0.5) = −ln(2) = −0.693147 |
Chaque ligne ci-dessus est reproductible sur la calculatrice, avec des valeurs arrondies comme l’affiche l’écran. La référence des fonctions de la calculatrice liste les touches exactes à utiliser.
Règle du produit : le logarithme d’un produit est la somme des logarithmes
C’est la règle de logarithme la plus utile. log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y). La multiplication, lente à la main, se transforme en addition, rapide à effectuer. Pourquoi cela fonctionne : si x = b^p et y = b^q, alors xy = b^p × b^q = b^(p+q), donc le logarithme de xy vaut p + q.
Exemple résolu 1. log10(100) = 2 et log10(10) = 1. La règle du produit donne log10(100 × 10) = log10(1000) = 2 + 1 = 3. Vérifiez sur la calculatrice de logarithme : tapez log(1000), le résultat affiché est 3. Mieux encore, tapez log(100) + log(10) : le résultat aboutit aussi à 3. Deux chemins, une seule réponse.
Le pendant côté exposants est celui que tout le monde rencontre en premier : 2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128. Détail du calcul : 8 × 16 = 128, et 2⁷ = 128 également.
Règle du quotient : le logarithme d’un quotient est la différence
La division devient une soustraction : log_b(x ÷ y) = log_b(x) − log_b(y). Si un produit se décompose en addition, un quotient se décompose en soustraction. La version côté exposants transforme d’abord une fraction en exposant négatif : 2⁵ ÷ 2² = 2³ = 8, car 5 moins 2 égale 3.
Exemple résolu 2. log10(1) − log10(100) doit être égal au logarithme de 1 ÷ 100 = 0.01. Cela donne 0 − 2 = −2, et effectivement log10(0.01) = −2 car 10⁻² = 0.01. Tapez log(0.01) pour vérifier. Remarquez que le logarithme d’un nombre inférieur à 1 est négatif, tout comme un exposant négatif produit une fraction.
Règle de la puissance : l’exposant sort devant
log_b(xⁿ) = n × log_b(x). Tout exposant présent à l’intérieur du logarithme devient un multiplicateur devant. C’est la règle qui permet de résoudre pour un exposant : log(5^10) devient 10 × log(5).
Exemple résolu 3. ln(e^3) utilise la convention de la calculatrice de logarithme népérien, où ln est en base e. La règle de la puissance la transforme en 3 × ln(e), et comme ln(e) = 1, la réponse est exactement 3. Tapez ln(e^3) puis 3 * ln(e) : les deux renvoient 3. Côté exposants, (2³)² = 2⁶ = 64.
Changement de base : n’importe quel logarithme dans n’importe quelle base
Les règles offrent une conversion en une seule division entre les bases : log_b(x) = log(x) ÷ log(b). La calculatrice de logarithme accepte aussi un second argument pour la base, ce qui permet souvent de se passer entièrement de la formule.
Exemple résolu 4. Vous cherchez log2(8). Sur la calculatrice de logarithme, tapez log(8, 2) : le résultat est 3, car 2³ = 8. Vous pouvez aussi utiliser la formule de changement de base : log(8) / log(2) renvoie également 3. Côté exposants, on retrouve la même relation sous un autre déguisement : 2⁴ × 2⁻¹ = 2³ = 8.
Utiliser ces règles sur la calculatrice
- Tapez l’expression complète, puis appuyez sur
=.log(100) + log(10)s’évalue en une seule fois et donne 3. - N’importe quelle base fonctionne en second argument :
log(x, b). - Rappelez-vous qu’ici
logest en base 10, tandis quelnen est la version népérienne. La calculatrice d’exposants couvre les mêmes idées, vues cette fois du côté des puissances.
Questions fréquentes
Pourquoi la règle du produit fonctionne-t-elle ?
Parce que multiplier des puissances d’une même base revient à additionner leurs exposants. Si x = b^p et y = b^q, alors xy = b^(p+q), et prendre le logarithme des deux côtés donne log_b(xy) = p + q.
Ces règles fonctionnent-elles pour les logarithmes népériens ?
Chaque règle fonctionne dans n’importe quelle base, y compris e. ln(xy) = ln(x) + ln(y), ln(x ÷ y) = ln(x) − ln(y), et ln(xⁿ) = n × ln(x). La calculatrice de logarithme népérien applique les mêmes lois, car un logarithme reste un logarithme quelle que soit la base.
Quel est le logarithme de 1 ?
log_b(1) = 0 dans n’importe quelle base, car toute base élevée à la puissance 0 vaut 1.
Comment calculer log2(8) s’il n’y a pas de touche de base ?
Tapez log(8, 2) pour définir directement la base, ou utilisez la formule de changement de base log(8) / log(2). Les deux donnent 3.