Ogni regola dei logaritmi ha una regola gemella tra gli esponenti. Moltiplicare due potenze della stessa base significa sommare i loro esponenti, quindi sommare due logaritmi equivale a moltiplicare i rispettivi argomenti. Dividere significa sottrarli. Elevare a potenza significa moltiplicarli. Poiché un logaritmo è, in fondo, un esponente travestito, ogni legge degli esponenti ha una traduzione diretta in termini di logaritmi, e impararle in coppia rende entrambi gli insiemi più facili da ricordare.
Punti chiave
- Regola del prodotto:
log10(100) + log10(10) = log10(1000) = 3, perché 2 + 1.- Gemella tra gli esponenti:
2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128, perché moltiplicare potenze significa sommare gli esponenti.- Regola della potenza:
ln(e³) = 3 × ln(e) = 3.- Cambio di base:
log(8, 2) = 3, e qualsiasi base funziona conlog(x) ÷ log(b).
Le regole in uno schema riassuntivo
Gli accoppiamenti qui sotto sono quelli che servono nella pratica quotidiana. Ogni regola dei logaritmi a destra è la regola degli esponenti a sinistra letta al contrario. La guida alle regole di logaritmi ed esponenti riporta la stessa tabella, e gli esponenti spiegati approfondisce da dove nascono le regole degli esponenti.
| Regola degli esponenti | Regola dei logaritmi | Verifica rapida |
|---|---|---|
aⁿ × aᵐ = aⁿ⁺ᵐ |
log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y) |
log10(100) + log10(10) = 2 + 1 = 3 |
aⁿ ÷ aᵐ = aⁿ⁻ᵐ |
log_b(x ÷ y) = log_b(x) − log_b(y) |
log10(1) − log10(100) = 0 − 2 = −2 |
(aⁿ)ᵐ = aⁿᵐ |
log_b(xⁿ) = n × log_b(x) |
ln(e³) = 3 × ln(e) = 3 |
a⁰ = 1 |
log_b(1) = 0 |
ln(1) = 0 |
a⁻ⁿ = 1 ÷ aⁿ |
log_b(1 ÷ x) = −log_b(x) |
ln(0.5) = −ln(2) = −0.693147 |
Ogni riga della tabella è riproducibile sulla calcolatrice, con i valori arrotondati come li mostra il display. Il riferimento alle funzioni della calcolatrice elenca i tasti esatti da usare.
Regola del prodotto: il logaritmo di un prodotto è la somma dei logaritmi
È la regola dei logaritmi più utile. log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y). La moltiplicazione, lenta da fare a mano, diventa un’addizione, molto più rapida. Il motivo per cui funziona: se x = b^p e y = b^q, allora xy = b^p × b^q = b^(p+q), quindi il logaritmo di xy è p + q.
Esempio svolto 1. log10(100) = 2 e log10(10) = 1. La regola del prodotto dice che log10(100 × 10) = log10(1000) = 2 + 1 = 3. Verifica con la calcolatrice di logaritmi: digita log(1000) e mostrerà 3. Ancora meglio, digita log(100) + log(10) e arriverà comunque a 3. Due strade, stesso risultato.
La gemella tra gli esponenti è quella che tutti incontrano per prima: 2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128. Passaggi completi: 8 × 16 = 128, e anche 2⁷ = 128.
Regola del quoziente: il logaritmo di un quoziente è la differenza
La divisione diventa una sottrazione: log_b(x ÷ y) = log_b(x) − log_b(y). Se un prodotto si scompone in un’addizione, allora un quoziente si scompone in una sottrazione. La versione con gli esponenti trasforma prima una frazione in un esponente negativo: 2⁵ ÷ 2² = 2³ = 8, perché 5 meno 2 fa 3.
Esempio svolto 2. log10(1) − log10(100) deve essere uguale al logaritmo di 1 ÷ 100 = 0.01. Il calcolo dà 0 − 2 = −2, e infatti log10(0.01) = −2 perché 10⁻² = 0.01. Digita log(0.01) per verificarlo. Nota che il logaritmo di un numero minore di 1 è negativo, proprio come un esponente negativo produce una frazione.
Regola della potenza: l’esponente esce davanti
log_b(xⁿ) = n × log_b(x). Qualsiasi esponente all’interno del logaritmo diventa un moltiplicatore davanti. È questa la regola che permette di risolvere equazioni con l’incognita all’esponente: log(5^10) diventa 10 × log(5).
Esempio svolto 3. ln(e^3) segue la convenzione della calcolatrice di logaritmo naturale, dove ln è in base e. La regola della potenza la trasforma in 3 × ln(e), e poiché ln(e) = 1, il risultato è esattamente 3. Digita ln(e^3) e 3 * ln(e): entrambi restituiscono 3. Sul fronte degli esponenti, (2³)² = 2⁶ = 64.
Cambio di base: qualsiasi logaritmo in qualsiasi base
Le regole permettono una conversione tra basi con una sola divisione: log_b(x) = log(x) ÷ log(b). La calcolatrice di logaritmi accetta anche un secondo argomento per la base, quindi spesso si può saltare direttamente la formula.
Esempio svolto 4. Vuoi calcolare log2(8). Sulla calcolatrice di logaritmi, digita log(8, 2) e restituisce 3, perché 2³ = 8. Oppure usa la formula del cambio di base: log(8) / log(2) restituisce anch’essa 3. Il lato degli esponenti mostra la stessa relazione sotto un altro travestimento: 2⁴ × 2⁻¹ = 2³ = 8.
Usare queste regole sulla calcolatrice
- Digita l’intera espressione, poi premi
=.log(100) + log(10)viene valutata in un colpo solo e dà 3. - Qualsiasi base funziona come secondo argomento:
log(x, b). - Ricorda che qui
logè in base 10 elnè la versione naturale. La calcolatrice di esponenti copre le stesse idee viste dal lato della potenza.
Domande frequenti
Perché vale la regola del prodotto?
Perché moltiplicare potenze della stessa base equivale a sommare gli esponenti. Se x = b^p e y = b^q, allora xy = b^(p+q), e applicando il logaritmo a entrambi i lati si ottiene log_b(xy) = p + q.
Queste regole valgono anche per i logaritmi naturali?
Ogni regola vale in qualsiasi base, compresa e. ln(xy) = ln(x) + ln(y), ln(x ÷ y) = ln(x) − ln(y), e ln(xⁿ) = n × ln(x). La calcolatrice di logaritmo naturale applica le stesse leggi, perché un logaritmo resta un logaritmo indipendentemente dalla base.
Quanto vale il logaritmo di 1?
log_b(1) = 0 in qualsiasi base, perché qualunque base elevata alla potenza 0 dà come risultato 1.
Come calcolo log2(8) se non c’è un tasto per la base?
Digita log(8, 2) per impostare direttamente la base, oppure usa la formula del cambio di base log(8) / log(2). Entrambe danno 3.